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{{NoteTA|G1=物理學}}
'''简谐运动'''，或稱'''简谐振动'''、'''谐振'''、'''SHM'''（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种[[振动|机械振动]]。当某物体进行简谐运动时，物体所受的[[力]]（或物体的[[加速度]]）的大小与[[位移]]的大小成[[正比]]，并且力（或物体的加速度）总是指向平衡位置。

如果用<math>F</math>表示物体受到的回復力，用<math>x</math>表示物体对于平衡位置的位移，根据[[胡克定律]]，<math>F</math>和<math>x</math>成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

:<math>F=-kx</math><ref name=zzm>{{cite book|title=高中教程。基础篇|author=赵志敏|publisher=复旦大学出版社|date=2011年10月|ISBN=978-7-309-08251-7|language=zh-cn}}</ref>

式中的<math>k</math>是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律「<math>F=ma</math>」当物体质量一定时，运动物体的[[加速度]]总跟物体所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系統的[[機械能|機械能守恆]]。

== 动力学方程 ==
[[File:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|thumb|upright=1.2|同一简谐运动在实空间和[[相空间]]的不同显示。{{le|轨道 (动力学)|Orbit (dynamics)|轨道}}是[[周期函数|周期性]]的。（为使两图一致，这里的[[速度]]轴和[[位置向量|位置]]轴与标准惯例相反）]]

对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到
:<math>F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=m\ddot x</math>

回复力又可表示为<math>F=-kx</math>

所以有<math>\ddot x+\frac{k}{m}x=0</math>

求解上述方程，得到的解含有正弦函数
:<math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)</math>，其中
:<math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, </math>
:<math> A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, </math>
:<math> \tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right), </math>
<math>c_1</math>，<math>c_2</math>是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义：<math>A</math>是振幅，<math>\omega = 2\pi f</math>是角频率，
加速度可以作为时间的函数得到
:<math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi)</math>
:<math>v_{max}=\omega A</math>（在平衡位置）
:<math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi)</math>
:<math>a_{max}=\omega^2 A</math>（在最大位移处）

加速度也可以通过位移的函数得到
:<math> a(x) = -\omega^2 x\!</math>。

因为 <math>\omega =  2 \pi f</math>，
:<math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}</math>，

又因为周期 <math>T = \frac{1}{f}</math>，所以：<math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>。

以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。<ref name=zzm/>{{rp|163}}

==线性回复力==
在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

== 彈簧 ==

将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的[[摩擦力]]小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的[[势能]]转换为振子的[[动能]]，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子[[速度]]为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。彈簧振子的[[固有週期]]和[[固有頻率]]與彈簧[[彈力係數]]和振子質量有關，與振幅大小無關。

== 振幅、週期和频率 ==

'''1.[[振幅]]'''

振幅<math>A</math>代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于<math>\sqrt{E}</math>，即它的平方正比于系统的机械能E。

'''2.[[角频率]]

角频率：<math>\omega=2 \pi f</math>, 频率f为周期T的倒数。

其中<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>。推导过程：

:<math>x=A\cos ({ \omega t + \phi })</math>
: 对于时间t求导， <math>v=-A\omega\sin ({\omega t + \phi}) </math>
: 再关于时间t求导，<math>a=-A\omega^2\cos ({ \omega t + \phi })</math>
: 由牛顿第二定律得<math>a = \frac {F}{m} = \frac {-kx}{m} = \frac {-A\cos ({ \omega t + \phi })k}{m}</math>
: 两式联立得<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>。

下图為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的[[位移]]隨時間變化的規律。是一條[[正弦]]或[[餘弦]]曲綫。
[[File:Simple harmonic motion (zh).png]]

這個運動是假設在沒有[[能量損失]]引致[[阻尼]]的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次[[全振動]]過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的时间叫週期，單位時間內完成全振動的次数叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。

==简谐振动的判定==

{{ordered list
| 如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力
: <math>F = - k x </math>
即合外力的大小与位移成正比且方向相反，那么我们称这个质点的运动是简谐振动。在弹簧振子模型中，比例系数<math> k </math>即为弹簧系数，或称倔强系数（劲度系数）。

| 如果一个质点的运动方程有如下形式
: <math> x = A \cos{( \omega t + \phi)} </math>
即，质点的位移随时间的变化是一个简谐函数，显然此质点的运动为简谐振动。

| 如果一个质点的动力学方程可以写成
: <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + \omega^2 x = 0 </math>
其中<math>\omega^2 </math>为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动

| 如果质点在运动过程中具有形式为<math>( \frac{1}{2} k x^2) </math>的彈力势能，且
: <math> \frac {1}{2} m v^2 + \frac {1}{2} k x^2 = E </math>
则质点的运动为简谐振动
}}

应该说明：
# 以上各判定方法是完全等价的；
# 以上各表达式中的<math> x </math>既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。

== 例子 ==

=== 弹簧 ===
把质量为<math>M</math>的物体悬挂在彈力常數为''k''的弹簧的底端，则物体将进行简谐运动，其方程为：

:<math>\omega=2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{M}}.\,</math>

如果要计算它的周期，可以用以下的公式：

:<math> T= \frac{1}{f} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}</math>。

总能量是常数，由方程<math> E = \frac{kA^2}{2} </math>给出。

=== 等速率圆周運動 ===
[[等速率圆周運動]]的一维[[投影]]是簡諧運動。如果物體以<math>\omega</math>的[[角速率]]沿着半徑为<math>R</math>的圆移動，则它在'''x'''軸、'''y'''軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅为<math>R</math>，角速率为<math>\omega</math>。

=== [[擺|单摆]] ===
在偏角不太大的情况（一般認為小於5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为<math>\ell</math>，重力加速度为<math>g</math>，则周期为：

:<math> T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}</math>

这个公式仅当偏角很小时才成立，因为[[角加速度]]的表达式是与位置的[[正弦]]成正比的：

:<math>\ell m g \sin(\theta)=I \alpha</math>

其中I是[[转动惯量]]，在这种情况下<math>I = m\ell^2</math>。当<math>\theta</math>很小时，<math>\sin(\theta) \approx \theta</math>，因此上式变为：

:<math>\ell m g \theta=I \alpha</math>

这使得角加速度与<math>\theta</math>成正比，满足了简谐运动的定义。單擺的[[回復力]]是擺球的重力沿運動方向的分力。<ref name=zzm/>{{rp|165}}

== 参阅 ==
{{portal|物理}}
* [[平移运动]]
* [[匀速运动]]
* [[平抛运动]]
* [[曲线运动]]

==参考资料==
{{reflist}}
== 外部链接 ==
* [http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/SpringSHM.htm 弹簧震动Java模拟] {{Wayback|url=http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/SpringSHM.htm |date=20200925190722 }}
{{经典力学}}
[[Category:振动和波]]
[[Category:运动学]]