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在[[數論]]上，'''篩法基本引理'''（fundamental lemma of sieve theory）指的是數個對於把[[篩法]]套用到特定問題上的過程進行系統化結果。{{link-en|海尼·哈巴施潭|Heini Halberstam|哈巴施潭}}與{{link-en|漢斯—哀滾·理希|Hans-Egon Richert|理希}}
<ref name="HR">
{{cite book | last = Halberstam | first = Heini |author-link=Heini Halberstam | first2=Hans-Egon | last2=Richert |authorlink2=Hans-Egon Richert | title = Sieve Methods | publisher = Academic Press | location = London | year = 1974 | isbn = 0-12-318250-6 | mr = 0424730 | series=London Mathematical Society Monographs | volume=4}}
</ref>{{Rp|92–93}}寫道：
{{quote|篩法文獻一個引人好奇的特性是盡管人們常用[[布朗篩法]]，但僅有少數人嘗試為布朗『定理』（如定理2.1）給出一個一般公式；而這結果就是，有令人驚訝多的論文不斷地在許多細節上，重複布朗的論證。}}

賈盟（Diamond）與{{link-en|海尼·哈巴施潭|Heini Halberstam|哈巴施潭}}<ref name="DH">
{{cite book | last1= Diamond | first1 = Harold G. | last2 = Halberstam | first2 = Heini | authorlink2 = Heini Halberstam | others = With William F. Galway | title = A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions |series= Cambridge Tracts in Mathematics |volume=177 | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge | year = 2008 | isbn = 978-0-521-89487-6 }}</ref>{{Rp|42}}認為「基本引理」一詞源自{{link-en|約拿·古必柳|Jonas Kubilius}}。

==共通符號==
此條目中，我們使用以下的符號：
* <math>A</math>是一個有<math>X</math>個正整數的集合，而<math>A_d</math>則是由可被<math>d</math>除盡的正整數組成的子集。
* <math>w(d)</math>及<math>R_d</math>是<math>A</math>與<math>d</math>的函數，這些函數可用以估計<math>A</math>中可被<math>d</math>除盡的元素的個數。而我們有以下的公式：
:<math> \left\vert A_d \right\vert = \frac{w(d)}{d} X + R_d . </math>
:因此，<math>w(d)/d</math>表示能被''<math>d</math>''除盡的元素的大致密度；而<math>R_d</math>則表示剩餘項或誤差。
* <math>P</math>是一個質數的集合，而<math>P(z)</math>則是所有不大於<math>\leq z</math>的質數的乘積。
* <math>S(A, P, z)</math>是<math>A</math>中不為任何<math>P</math>中不大於<math>\leq z</math>的質數除盡的元素的數量。
* <math>\kappa</math>是一個常數，又稱作'''篩選密度'''（sifting density）。<ref name="Greaves" />{{Rp|28}}這篩選密度會出現在以下的假設中，表示被每個質數篩掉的[[同餘類]]數量的[[加權平均]]。

==組合篩法基本引理==
以下公式表示取自太能保母（Tenenbaum）。<ref name="Tenenbaum">
{{cite book | last = Tenenbaum | first = Gérald | title = Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge | year = 1995 | isbn = 0-521-41261-7 }}
</ref>{{Rp|60}}，其他的公式表示則可見於{{link-en|海尼·哈巴施潭|Heini Halberstam|哈巴施潭}}與{{link-en|漢斯—哀滾·理哲|Hans-Egon Richert|理希}}、<ref name="HR" />{{Rp|82}}、葛里維斯（Greaves）及<ref name="Greaves">
{{cite book | last = Greaves | first = George | title = Sieves in Number Theory | url = https://archive.org/details/sievesinnumberth0000grea_k2q7 | publisher = Springer | location = Berlin | year = 2001 | isbn = 3-540-41647-1 }}
</ref>{{Rp|92}}及{{le|约翰·弗里德兰德|John Friedlander|弗里蘭}}與[[亨里克·伊萬尼克|伊萬尼茲]]等人的著作。<ref>{{cite journal |last=Friedlander |first=John |author-link=John Friedlander |author2=Henryk Iwaniec |author2-link=Henryk Iwaniec |year=1978 |title=On Bombieri's asymptotic sieve |journal=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze |series=4e série |volume=5 |issue=4 |pages=719–756 |url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1978_4_5_4_719_0 |accessdate=2009-02-14 |archive-date=2023-05-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230508102624/http://www.numdam.org/item/?id=ASNSP_1978_4_5_4_719_0 |dead-url=no }}</ref>{{Rp|732–733}}

我們首先作出如下假設：
* <math>w(d)</math>是一個[[積性函數]]。
* 對於某個常數<math>C</math>及任意滿足<math>2\leq \eta\leq \xi</math>的實數<math>\eta</math>及<math>\xi</math>而言，篩選密度<math>\kappa</math>滿足如次條件：<math>\prod_{\eta \le p \le \xi} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) ^{-1} < \left( \frac{\ln \xi}{\ln \eta} \right) ^\kappa \left( 1 + \frac{C}{\ln \eta} \right). </math>

對於<math>A</math>、''<math>X</math>''、''<math>z</math>''及<math>u</math>而言，我們有以下等式。此公式中的<math>u\geq 1</math>由使用者自行決定其數值：
:<math>S(A,P,z) = X \prod_{p \le z, p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(u^{-u/2})\} + O\left(\sum_{d \le z^u, d|P(z)} |R_d| \right).</math>
在實際應用中，可對''<math>u</math>''進行選取已得到最佳的結果。在這篩法中，其數值取決於[[容斥原理]]的使用層級數。

==塞爾伯格篩法基本引理==
以下公式表示取自{{link-en|海尼·哈巴施潭|Heini Halberstam|哈巴施潭}}與{{link-en|漢斯—哀滾·理哲|Hans-Egon Richert|理希}}的結果<ref name="HR" />{{Rp|208–209}}；另一個公式表示可見於賈盟（Diamond）與{{link-en|海尼·哈巴施潭|Heini Halberstam|哈巴施潭}}的結果。<ref name="DH" />{{Rp|29}}

我們首先作出如下假設：
* <math>w(d)</math>是一個[[積性函數]]。
* 對於某個常數<math>C</math>及任意滿足<math>2\leq \eta\leq \xi</math>的實數<math>\eta</math>及<math>\xi</math>而言，篩選密度<math>\kappa</math>滿足如次條件：<math> \qquad \sum_{\eta \le p \le \xi} \frac{w(p) \ln p}{p} < \kappa  \ln \frac{\xi}{\eta} + C. </math>
* 對於一些小且固定的''<math>c</math>''及所有的''<math>p</math>''而言，''<math>\frac{w(p)}{p} < 1-c</math>''。
* 對於所有無平方因子、且質因數位於''<math>P</math>''中的''<math>d</math>''而言，''<math>|R(d)|\leq w(d)</math>''。

使用上述的假定，塞爾伯格篩法基本引理跟組合篩法基本引理幾乎相同。設''<math>u = \ln{X} /\ln{z}</math>''，則有如次結論：

:<math>S(A,P,z) = X \prod_{p \le z,\ p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(e^{-u/2})\}.</math>

應當注意的是，在我們的處理中，''<math>u</math>''不再是一個獨立參數，而是一個取決於''<math>z</math>''的參數。

另外值得注意的是，此處的誤差項弱於上述組合篩法基本引理的誤差項；而{{link-en|海尼·哈巴施潭|Heini Halberstam|哈巴施潭}}與{{link-en|漢斯—哀滾·理哲|Hans-Egon Richert|理希}}對此寫道說：「因此一直以來許多文獻假定的『塞爾伯格篩法總是比布朗篩法還要好』的這說法不全然為真。」

==註解==
{{Reflist}}

[[Category:篩法]]
[[Category:解析數論定理]]