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'''简单函数'''（{{Lang-en|simple function}}）又稱'''單純函數'''，是[[实分析]]中只取有限個實值的[[可测函数]]。

==定义==

[[集合 (数学)|集合]] <math>\Omega</math> 上有[[Σ-代数]] <math>\Sigma</math> ，若對[[函数]] [[函数|<math>f:\Omega \to \R</math>]] ，存在 [[函数|<math>A_1,\,A_2,\cdots,A_n\in\Sigma</math>]] 和 [[函数|<math>a_1,\,a_2,\cdots,a_n\in\R</math>]]，使得：

:<math>f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x).</math>

其中 <math>{\mathbf 1}_{A}</math> 代表集合 ''<math>A</math>'' 的[[指示函數]]，即：

:<math>{\mathbf 1}_A(x) = 
\left\{
\begin{matrix} 
1, & \mbox{if } x \in A  \\ 
0, & \mbox{if } x \not\in A 
\end{matrix}
\right.</math>

則 [[函数|<math>f</math>]] 稱為'''簡單函數'''，也就是說，简单函数是[[可测集合]]（即 <math>\Sigma</math> 的元素）的[[指示函数]]的有限[[线性组合]]。

=== 範例 ===

* 半开区间[1,9)上的[[取整函数]]，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
* 实直线上的[[狄利克雷函数]]，如果''x''是有理数，则函数的值为1，否则为0。

==性质==
根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

{{Math theorem|math_statement=
[[集合 (数学)|集合]] <math>\Omega</math>  上有[[Σ-代数]] <math>\Sigma</math> ，任何非负，在 <math>\Sigma</math> 上[[可测函数|可測的]] <math>f: \Omega \to [0,\,\infty)</math> 都會是某遞增且非負簡單函數序列的[[逐点收敛|逐點]]極限。更進一步的，若 <math>f</math> 是[[有界函数|有界]]的，则此簡單函數序列是[[一致收敛]]至<math>f</math>。
}}

{{Math proof|proof=
对每个[[正整數]] <math>n\in\N</math>，把 <math>[0,\,\infty)</math> 分成 <math>2^{2n}+1</math>個區間，也就是取

:<math>I_{n,k}=\left[k 2^{-n},\, (k+1) 2^{-n} \right)</math> ，对于 <math>k=0,1,\ldots,2^{2n}-1</math>。

以及

:<math>I_{n,2^{2n}}=[2^n,\infty)</math>

然後定义可测集合

:<math>A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})</math>，对于 <math>k=0,1,\ldots,2^{2n}</math>。

則可對每個正整數 <math>n\in\N</math> 定義非負简单函数 <math>f_n: \Omega \to [0,\,\infty)</math> 如下

:<math>f_n(\omega)=\sum_{k=0}^{2^{2n}}\frac{k}{2^n}\cdot{\mathbf 1}_{A_{n,k}}(\omega)</math>

也就構成了一個非負遞增簡單函數[[序列]] <math>{\{f_n\}}_{n \in \N}</math> 。

這樣的話，取任意 <math>\omega \in \Omega </math> ， 都存在正整數 <math>n_{\omega} \in \N </math> 使得

:<math>2^{n_{\omega}} > f(\omega)</math>

這樣的話，只要 <math>n>n_{\omega}</math> 的話，都會存在正整數 <math>k\in\N</math> 使得

:<math>k 2^{-n} \leq f(\omega) < (k+1) 2^{-n}</math>

所以有

:<math>|f(\omega)-f_n(\omega)| < 2^{-n}</math>

再考慮到，對任意正實數 <math>\epsilon \in (0,\,\infty)</math> ，都存在正整數 <math>m \in \N </math> 使得

:<math>2^m \epsilon > 1</math>

所以總結一下，對任意正實數 <math>\epsilon \in (0,\,\infty)</math>，取正整數 <math> n > \operatorname{max}\{m,\,n_{\omega}\} </math> ，就會有

:<math>|f(\omega)-f_n(\omega)| < 2^{-n} < \epsilon</math>

所以簡單函數序列 <math>\{f_n\}</math> 的確會逐点收敛至 <math>f</math>。

注意到若 <math>f</math> 是有界的，那存在一個跟點 <math>\omega\in\Omega</math> 選取無關的正整數 <math>n \in \N </math> 使得

:<math>2^n > f(\omega)</math>

那這樣的話，對任意正實數 <math>\epsilon \in (0,\,\infty)</math>，取正整數 <math> n^{\prime} > \operatorname{max}\{m,\,n\} </math>，就會得到一致收斂。<math>\Box</math>
}}
==简单函数的积分==

[[测度]] <math>\mu:\Sigma\to [0,\,\infty)</math> 定义在 <math>\Omega</math> 的[[Σ-代数]] <math>\Sigma</math> 上，若簡單函數 <math>f:\Omega \to \R</math> 可表達為

:<math>f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)</math>

則 <math>f</math> 於某個 <math>E \in \Sigma</math> 上，對測度 <math>\mu</math> 的[[勒贝格积分]]定義為：

:<math>\int_{E} f\, d \mu := \sum_{k=1}^na_k\mu(A_k \cap E)</math>

==参考文献==

*J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. ''Introduction to Measure and Probability'', 1966, Cambridge.
*S. Lang. ''Real and Functional Analysis'', 1993, Springer-Verlag.
*W. Rudin. ''Real and Complex Analysis'', 1987, McGraw-Hill.
*H. L. Royden. ''Real Analysis'', 1968, Collier Macmillan.

[[Category:实分析]]
[[Category:测度论]]
[[Category:各类函数]]