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'''等諧数列'''，又名'''調和数列'''（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是[[数列]]的一种。在等諧数列中，任何相邻两项倒數的差相等，该差值的倒數称为'''公諧差'''（common harmonic difference）。

例如数列：

:{{math|<sup>1</sup>/<sub>3</sub> ,  <sup>1</sup>/<sub>5</sub> ,  <sup>1</sup>/<sub>7</sub> ,  <sup>1</sup>/<sub>9</sub> ,  <sup>1</sup>/<sub>11</sub> ,  <sup>1</sup>/<sub>13</sub> , ...}} 

就是一个等諧数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公諧差都等于 {{math|<sup>1</sup>/<sub>2</sub>}}。

== 性質 ==

如果一个等諧数列的首项記作 {{math|''a''}}，公諧差記作 {{math|''h''}}，那么该等諧数列第 {{math|''n''}} 项 {{math|''a<sub>n</sub>''}} 的一般項为：

:<math>a_n=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}</math>

換句話說，任意一個等諧数列 {{math|{''a<sub>n</sub>''} }}都可以寫成

:<math>\{a\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}}\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}}\,,\,\cdots\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}\}</math>


在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 {{math|''a''<sub>''n''+1</sub>}} 和 {{math|''a<sub>n</sub>''}} ，可知公諧差

:<math>h=\frac{1}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}</math>

給定任意兩項 {{math|''a<sub>m</sub>''}} 和 {{math|''a<sub>n</sub>''}} ，則有公諧差

:<math>h=\frac{m-n}{\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_n}}</math>


此外，在一個等諧数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說，<math>\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3} = \frac{2}{a_2}</math>。

更一般地說，有：

:<math>\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n}</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} & = \left(\frac{1}{a}+\frac{n-2}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n}{h}\right) \\
& = \frac{2}{a}+\frac{2n-2}{h} \\
& = 2\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\
& = \frac{2}{a_n} \\
\end{align}</math>

證畢。


從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的[[調和平均]]：

:<math>a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}}</math>

此結果從上面直接可得。


如果有正整數 {{math|''m'', ''n'', ''p'', ''q''}}，使得 <math>m+n=p+q</math>，那么则有：

:<math>\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q}</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n} &=\left(\frac{1}{a}+\frac{m-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\
&=\frac{2}{a}+\frac{m+n-2}{h} \\
&=\frac{2}{a}+\frac{p+q-2}{h} \\
&=\left(\frac{1}{a}+\frac{p-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{q-1}{h}\right) \\
&=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q} \\
\end{align}</math>


由此可將上面的性質一般化成：

:<math>\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}} = \frac{2}{a_n}</math>

:<math>a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}}}</math>

其中 {{math|''k''}} 是一個小於 {{math|''n''}} 的正整數。


給定一個等諧數列 <math>\{a_n\}</math>，則有：

* <math>\{b\cdot a_n\}</math> 是一個等諧數列。
* <math>\{\frac{b}{a_n}\}</math> 是一個[[等差數列]]。

== 等諧数列和 ==

一個等諧數列的首 {{math|''n''}} 項之和，稱為'''等諧数列和'''（sum of harmonic sequence）或'''調和級數'''（harmonic series），記作 {{math|''S<sub>n</sub>''}}。

舉例來說，等諧數列 {{math|{<sup>1</sup>/<sub>3</sub>, <sup>1</sup>/<sub>5</sub>, <sup>1</sup>/<sub>7</sub>, <sup>1</sup>/<sub>9</sub>} }}的和是 {{math|<sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>5</sub> + <sup>1</sup>/<sub>7</sub> + <sup>1</sup>/<sub>9</sub>}} = {{math|<sup>248</sup>/<sub>315</sub>}}。


等諧數列並沒有簡單的[[求和符號|求和公式]]。但使用以下[[反常積分]]，可對數列和以[[數值積分]]作估算：

:<math>S_n = a\int_0^1{\left(\frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}}\right)}\mathrm{d}x</math>

公式證明如下：

:<math>\begin{align}

S_n & = a+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} + \cdots + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\
& = a+\frac{a}{1+\frac{a}{h}} + \frac{a}{1+\frac{2a}{h}} + \cdots + \frac{a}{1+\frac{(n-1)a}{h}} \\
& = a\left(1+ \frac{1}{\frac{a}{h}+1} + \frac{1}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{1}{\frac{(n-1)a}{h} + 1} \right) \\
& = a\left[x+\frac{x^{\frac{a}{h}+1}}{\frac{a}{h}+1} + \frac{x^{\frac{2a}{h}+1}}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{x^{\frac{(n-1)a}{h}+1}}{\frac{(n-1)a}{h} + 1}\right]_{x=0}^{x=1} \\
& =  a\int_0^1 \left(1+ x^{\frac{a}{h}} + x^{\frac{2a}{h}} + \cdots + x^{\frac{(n-1)a}{h}} \right) \mathrm{d}x \\
& = a \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}} \right)\mathrm{d}x \\
\end{align}</math>

最後一步，使用了[[等比數列]]的求和公式。


使用上面的例子，對於數列 {{math|{<sup>1</sup>/<sub>3</sub>, <sup>1</sup>/<sub>5</sub>, <sup>1</sup>/<sub>7</sub>, <sup>1</sup>/<sub>9</sub>} }}：

:<math>\begin{align}
S_4 & = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{2}{3}\cdot 4}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x  \\
& = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{8}{3}}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x  \\
& \approx 0.7873
\end{align}</math>

結果相等。


從這公式中容易看出，等諧級數是[[發散]]的。

== 等諧数列积 ==

一個等諧數列的首 {{math|''n''}} 項之積，稱為'''等諧数列積'''（product of harmonic sequence），記作 {{math|''P<sub>n</sub>''}}。

舉例來說，等諧數列 {{math|{<sup>1</sup>/<sub>3</sub>, <sup>1</sup>/<sub>5</sub>, <sup>1</sup>/<sub>7</sub>, <sup>1</sup>/<sub>9</sub>} }}的積是 {{math|<sup>1</sup>/<sub>3</sub> × <sup>1</sup>/<sub>5</sub> × <sup>1</sup>/<sub>7</sub> × <sup>1</sup>/<sub>9</sub>}} = {{math|<sup>1</sup>/<sub>945</sub>}}。


等諧数列積的公式可以[[Γ函數]]表示：

:<math>P_n =h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
P_n&=a\cdot\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\
&=\frac{1}{\frac{1}{h^n} \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}{\Gamma(\frac{h}{a})}} \\
&=h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)} \\
\end{align}</math>

這裡使用了[[等差數列]]的求積公式。


使用上面的例子，對於數列 {{math|{<sup>1</sup>/<sub>3</sub>, <sup>1</sup>/<sub>5</sub>, <sup>1</sup>/<sub>7</sub>, <sup>1</sup>/<sub>9</sub>} }}：

:<math>\begin{align}
P_4&=\frac{1}{2^4} \cdot \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{3}{2}+4)} \\
&=\frac{1}{16}\cdot\frac{0.88622\dots}{52.342\dots} \\
&=\frac{1}{945} \\
\end{align}</math>

結果相等。

== 参见 ==
* [[序列]]
* [[數列]]
* [[級數]]
* [[調和級數]]
* [[調和平均]]
* [[等差數列]]
* [[等比數列]]

== 参考文献 ==
<references />
* Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html |date=20201126204706 }}.
* Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ {{Wayback|url=https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ |date=20210123014609 }}.

{{-}}
{{級數}}

[[Category:序列]]