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{{NoteTA |G1=Math}}
{{not|几何级数}}
'''等比数列'''，是[[数列]]的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为[[公比]]。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的[[几何平均数]]，所以又名'''几何数列'''（{{lang-en|Geometric progression}}）。

例如数列：
:<math>3, 6, 12, 24, 48, 96, ...</math>

就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于<math>2</math>。

== 性質 ==

如果一个等比数列的首项記作<math>a</math>，公比記作<math>r</math>，那么该等比数列第<math>n</math>项<math>a_n</math>的一般項为：

:<math>a_n=ar^{n-1}</math>

換句話說，任意一個等比数列<math>\{a_n\}</math>都可以寫成

:<math>\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^2\,,\,\cdots\,,\,\,ar^{n-1}\}</math>


在一個等比數列中，給定任意兩相連項<math>a_{n+1}</math>和<math>a_n</math>（其中<math>a_n\ne0</math>），可知公比

:<math>r=\frac{a_{n+1}}{a_n}</math>

給定任意兩項<math>a_m</math>和<math>a_n</math>，則有公比

:<math>r=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}</math>

這裡注意，若<math>m-n</math>是[[偶數]]，則公比可取此結果的正值或負值。



此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，<math>a_1\times a_3={a_2}^2</math>。

更一般地說，有：

:<math>a_{n-1}\times a_{n+1}={a_n}^2</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
a_{n-1}\times a_{n+1} & = ar^{n-2}\times ar^n \\
& = a^2 \times r^{2n-2} \\
& = (ar^{n-1})^2 \\
& = {a_n}^2 \\
\end{align}</math>

證畢。


從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的[[幾何平均]]：

:<math>a_n=\pm \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}</math>

此結果從上面直接可得。


如果有整數<math>m,n,p,q</math>，使得 <math>m+n=p+q</math>，那么则有：

:<math>a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
a_m \cdot a_n &=ar^{m-1} \cdot ar^{n-1} \\
&=a^2 r^{m+n-2} \\
&=a^2 r^{p+q-2} \\
&=ar^{p-1} \cdot ar^{q-1} \\
&=a_p \cdot a_q \\
\end{align}</math>


由此可將上面的性質一般化成：

:<math>a_{n-k} \cdot a_{n+k}={a_n}^2</math>

:<math>a_n=\pm \sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}</math>

其中<math>k</math>是一個小於<math>n</math>的正整數。



給定一個等比數列 <math>\{a_n\}</math>，則有：

* <math>\{b\cdot a_n\}</math> 是一個等比數列。
* <math>\{\frac{b}{a_n}\}</math> 是一個等比數列。
* <math>\{\log_b(a_n)\}</math> 是一個[[等差數列]]。


從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

:<math>a_n=pq^n</math>

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比<math>r=q</math>，首項<math>a=pq</math>。

== 公比 ==
公比（{{lang-en|Common ratio}}）是对于[[等比数列]]这一特殊[[数列]]而言的，它是指在等比数列中后一[[项]]与前一项的[[商數|商]]。

=== 等比数列的通项公式 ===
等比数列都满足：<math>\frac {a_n} {a_{n-1}} = q</math>。例如，数列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0（因為<math>N\div 0</math>），否则為[[未定义]]。

== 等比数列和 ==

一個等比數列的首<math>n</math>項之和，稱為'''等比数列和'''（sum of geometric sequence）或'''幾何級數'''（geometric series），記作<math>S_n</math>。

舉例來說，等比數列<math>\{1,2,4,8\}</math>的和是<math>1+2+4+8=15</math>。

等比數列求和的公式如下：

:<math>S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}</math>

其中<math>a</math>為首項，<math>n</math>為項數，<math>r</math>為公比，且<math>r\ne1</math>。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：
:<math>S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}</math> ……(1)

将两边同乘以公比 {{math|''r''}}，有：
:<math>rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^n</math> ……(2)

(1)式减去(2)式，有：
:<math>(1-r)S_n=a-ar^n</math>

当<math>r\ne1</math>时，整理後得證。

當<math>r=1</math>時，可以发现：
:<math>\begin{align}
S_n & = a +ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \\
& = \begin{matrix} \underbrace {a+a+a+\cdots+a} \\ n 
\end{matrix} \\
& = n \times a \\
& = an \\
\end{align}</math>

综上所述，等比数列的求和公式为：
:<math>
S_n=\begin{cases}
\frac{a(1-r^n)}{1-r}&r\neq1\\
an&r=1
\end{cases}
</math>

當<math>-1<r<1</math>時，注意到
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0</math>

因此，我們可得'''無限項之和'''（sum to infinity）的公式為
:<math>S_{\infty}=\frac{a}{1-r}</math>

由此可見，當<math>-1<r<1</math>時，幾何級數會[[收斂]]到一個固定值。

== 等比数列积 ==

一個等比數列的首<math>n</math>項之積，稱為'''等比数列積'''（product of geometric sequence），記作<math>P_n</math>。

舉例來說，等比數列<math>\{1,2,4,8\}</math>的積是<math>1\times2\times4\times8=64</math>。



等比數列求積的公式如下：

:<math>P_n=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
P_n&=a\cdot ar \cdot ar^2 \cdot \cdots \cdot ar^{n-1} \\
&=a^n \cdot r^{0+1+2+\cdots+(n-1)}\\
&=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}  \\
\end{align}</math>

第二步，公比<math>r</math>的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為<math>n-1</math>。

== 参见 ==
* [[序列]]
* [[數列]]
* [[級數]]
* [[幾何級數]]
* [[幾何平均]]
* [[等差數列]]
* [[等諧數列]]
* [[国际象棋盘与麦粒问题]]

== 参考文献 ==
<references />
* Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ {{Wayback|url=https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ |date=20210423235307 }}.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html |date=20210419070908 }}.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html |date=20190323122116 }}.

{{-}}
{{級數}}

[[Category:序列]]