查看“︁等幂和差”︁的源代码

'''等幂和差'''，又称幂和差，指同是<math>n</math>次幂的<math>a</math>与<math>b</math>的和与差，即<math>a^n \pm b^n</math>。

==等比数列求和公式的推导==
===等幂和===

当<math>n</math>为[[奇数]]时有：

<math>a^{n}+b^{n}=(a+b)\sum_{r=1}^{n} a^{n-r} (-b)^{r-1}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})</math>

因尾项必须为<math>+b^{n-1}</math>，故<math>n</math>不能取[[偶数]]。

===等幂差===
首项为1、公比为<math>q</math>的[[等比数列]]求和后得出：

<math>\sum_{r=1}^n q^{r-1}=1+q+...+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}</math>

设<math>q=\frac{a}{b}</math>，换算后即有：

<math>a^n-b^n=(a-b)\sum_{r=1}^n a^{n-r} b^{r-1} =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})</math>

===逆定理===
<math>\sum_{r=1}^n a^{n-r} b^{r-1} =a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}</math>

<math>\sum_{r=1}^n a^{n-r} (-b)^{r-1} =a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}=\frac{a^n+b^n}{a+b}</math>

注意<math>\sum_{r=1}^{2n-1} a^{4n-2-2r}b^{2r-2}</math>可进行[[因式分解]]，例如：

<math>a^4+a^2 b^2+b^4=\frac{a^6-b^6}{a^2-b^2}=\frac{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}{(a+b)(a-b)}=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)</math>

另解：<math>a^4+a^2 b^2+b^4=a^4+2a^2 b^2+b^4-a^2 b^2=(a^2+b^2)^2-a^2 b^2=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)</math>

==参见==
*[[卢卡斯数列]]
*[[等幂求和]]

{{Basic identity}}
[[分类:初等代数]]