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在[[数学]]领域中，两个[[集合_(数学)|集合]]是'''等势'''的（{{Lang-en|equinumerous}}）意為它们之间存在一个[[双射]]。這種性質经常叫做'''等势性'''(equinumerosity)。英文中也會用术语 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。 

== 定義 ==
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement =
<math>A </math> 和 <math>B </math> 是二[[集合_(数学)|集合]]，若 <math>f </math> 滿足

* <math>(\forall a \in A)(\exists ! b)\{
    (b \in B)
    \wedge
    [(a,\,b) \in f]
\} </math> （<math>f </math> 是<math>A </math> 和 <math>B </math> 間的[[函数]]）
* <math>(\forall b \in B)(\exists a \in A)[(a,\,b) \in f] </math> （每個 <math>b \in B </math> 都可以用 <math>f </math> 的規則對到某 <math>a \in A </math>）
* <math>(\forall a_1 \in A)(\forall a_2 \in A)(\forall b \in B)\{[(a_1,\,b),\,(a_2,\,b) \in f] \Rightarrow (a_1 = a_2)\} </math> （<math>a_1,\,a_2 \in A </math> 都對到 <math>b \in B </math> 則兩者相等 ）

此時用以下符號簡記：

: <math>A\,\overset{f}{\cong}\,B </math>

更進一步的，可以定義：

: <math>A \cong B
:=
(\exists f)
\left[
 A\,\overset{f}{\cong}\,B 
\right] </math>

並可簡稱為<math>A </math> 和 <math>B </math> 是'''等势'''的。
}}
<math>A\,\overset{f}{\cong}\,B </math> 直觀上來說，就是任意 <math>b \in B </math> 都可以透過[[函数]] <math>f </math> 的規則，被唯一的一個 <math>a \in A </math> 對應。而所謂的等勢，就是<math>A </math> 和 <math>B </math> 間存在這樣的'''一對一且不遺漏'''的對應關係。

=== 範例 ===
设<math>E=\left\{2n|n\in \mathbb{N}\right\}</math>是全体偶数的集合，那么，它与[[自然数|自然数集]]<math>\mathbb{N}</math>是等势的；
有理数<math>\mathbb{Q}</math>与自然数<math>\mathbb{N}</math>是等势的（所有[[有理数]]与自然数是“一样多”的）；
然而，无理数<math>\mathbb{R}-\mathbb{Q}</math>与自然数<math>\mathbb{N}</math>或有理数<math>\mathbb{Q}</math>都不等势（[[无理数]]比有理数“个数多”）。

== 性質 ==

* 两个[[有限集]]是'''等势'''的，当且仅当它们的[[基数 (数学)|元素个数]]相等。
* 等勢可構成一個[[等价关系]]。

== 範疇論的等勢 ==
在'''[[集合范畴]]'''中，带有[[函数]]作为态射的所有集合的[[范畴论 (数学)|范畴]]，在两个集合之间的[[同构]]正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。

==参见==

*[[集合范畴]]
*[[基数 (数学)]]
*[[双射]]

{{math-stub}}

[[Category:基数]]
[[Category:无穷集合论基本概念]]

[[de:Mächtigkeit (Mathematik)#Gleichmächtigkeit, Mächtigkeit]]