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[[微分几何]]中，'''第二基本形式'''（{{lang|en|second fundamental form}}）是三维[[欧几里得空间]]中一个[[曲面的微分几何|光滑曲面]]的切丛上一个[[二次形式]]，通常记作 II。与[[第一基本形式]]一起，他们可定义曲面的外部不变量，[[主曲率]]。更一般地，若在[[黎曼流形]]中或洛伦兹流形中，的一个光滑[[超曲面]]上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

== <math>\mathbf{R}^3</math>中曲面 ==
=== 引论 ===
<math>\mathbf{R}^3</math>中一个[[参数曲面]]<math>S</math>的第二基本形式由[[卡尔·弗里德里希·高斯|高斯]]引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，<math>z=f(x,y)</math>，且平面<math>z=0</math>与曲面在原点[[相切]]。则<math>f</math>以及关于<math>x</math>和<math>y</math>的[[偏导数]]在<math>(0,0)</math>皆为零。从而<math>f</math>在<math>(0,0)</math>处的[[泰勒展开]]以二次项开始：

: <math> z=f_{xx}\frac{x^2}{2} + f_{xy}xy + f_{yy}\frac{y^2}{2} +o(n) </math>，

记 <math> L=f_{xx}, M=f_{xy}, N=f_{yy} </math>, 则在<math>(x,y)</math>坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

: <math> L dx^2 + 2M dx dy + N dy^2. \,</math>

对 参数曲面<math>S</math>上一个光滑点<math>p</math>，总可以选取坐标系使得坐标的 ''z''-平面与<math>S</math>切于<math>p</math>，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

===经典记号===

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> 是<math>\mathbf{R}^3</math>中一个正则参数曲面，这里<math>\mathbf{r}</math>是两个变量的光滑[[向量值函数]]。通常记<math>\mathbf{r}</math>关于<math>u</math>和<math>v</math>的偏导数为<math>\mathbf{r}_u</math>与<math>\mathbf{r}_v</math>。参数化的正则性意味着<math>\mathbf{r}_u</math>与<math>\mathbf{r}_v</math>对<math>\mathbf{r}</math>的定义域中任何<math>(u,v)</math>是[[线性无关]]的。等价地，[[叉积]]<math>\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v</math>是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场<math>\mathbf{n}(u,v)</math>：

:<math>\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|}.</math>

第二基本形式通常写成

:<math>\mathrm{II} = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2, \,</math> 

在基<math>\{\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v\}</math>下的矩阵是

:<math> \begin{bmatrix}
L&M\\
M&N
\end{bmatrix}. </math>

在参数化 ''uv''-平面上一个给定点处系数<math>L</math>, <math>M</math>, <math>N</math>由<math>\mathbf{r}</math>在那个点的二次偏导数到<math>S</math>的法线上投影给出，利用[[点积]]可计算如下：

:<math>L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad
M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}, \quad
N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}. </math>

===现代记法===
一个通常曲面<math>S</math>的第二基本形式定义如下：设<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u^1, u^2)</math>是<math>\mathbf{R}^3</math>中一个正则参数曲面，这里<math>\mathbf{r}</math>是两个变量的光滑向量值函数。通常记<math>\mathbf{r}</math>关于<math>u^\alpha</math>的偏导数为<math>\mathbf{r}_\alpha</math>，<math>\alpha=1,2</math>。参数化的正则性意味着<math>\mathbf{r}_1</math>与<math>\mathbf{r}_2</math>在<math>\mathbf{r}</math>的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成<math>\mathbf{S}</math>的切空间。等价地，[[叉积]]<math>\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2 </math>是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场<math>\mathbf{n}</math>： 

:<math>\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2|}</math>

第二基本形式通常写作

:<math>\mathrm{II} = b_{\alpha\beta} du^{\alpha} du^{\beta}</math>

上式使用了[[爱因斯坦求和约定]]。

在参数<math>(u^1, u^2)</math>-曲面给定点处系数<math>b_{\alpha\beta}</math>由<math>\mathbf{r}</math>的二次偏导数到<math>S</math>的法线的投影给出，利用点积可写成：

:<math>b_{\alpha\beta} = \mathbf{r}_{\alpha\beta} \cdot \mathbf{n}</math>

== 黎曼流形中的超曲面 ==

在[[欧几里得空间]]中，第二基本形式由

:<math>I\!I(v,w) = \langle d\nu(v),w\rangle</math>

给出，这里 <math>\nu</math> 是[[高斯映射]]，而 <math>d\nu</math> 是 <math>\nu</math> 的[[前推 (微分)|微分]]视为一个[[向量值微分形式]]，括号表示欧几里得空间的[[度量张量]]。

更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面[[形算子]]（记作<math>S</math>）的等价方法，

:<math>\mathrm I\!\mathrm I(v,w)=\langle S(v),w\rangle= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle,</math>

这里 <math>\nabla_v w</math> 表示周围空间的[[共变导数]]，<math>n</math>超曲面上一个法向量场。如果[[仿射联络]]是[[挠率张量|无挠]]的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于<math>n</math>的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个[[定向]]）。

=== 推广为任意餘维数 ===

第二基本形式可以推广到任意[[餘維數]]。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

:<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot, </math>

这里 <math>(\nabla_v w)^\bot </math> 表示[[共变导数]] <math>\nabla_v w </math> 到法丛的正交投影。

在[[欧几里得空间]]中，[[子流形]]的[[曲率张量]]可以描述为下列公式：

:<math>\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.</math>

这叫做'''[[高斯-科达齐方程|高斯方程]]'''，可以视为高斯[[绝妙定理]]的推广。在一个[[标准正交基]]中第二基本形式的[[本征值]]，是曲面的'''[[主曲率]]'''。一组正交规范[[本征向量]]称为'''主方向'''。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果<math>N</math>是嵌入[[黎曼流形]]<math>(M,g)</math>中一个流形，则<math>N</math>在诱导度量下的曲率张量 <math>R_N </math> 可以用第二基本形式与<math>M</math>的曲率张量 <math>R_M</math> 表示出来：

:<math>\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.</math>

==相关条目==
*[[第一基本形式]]
*[[高斯曲率]]
*[[高斯-科达齐方程]]

==参考文献==
* {{cite book|first=Heinrich|last=Guggenheimer|title=Differential Geometry|year=1977|publisher=Dover|chapter=Chapter 10. Surfaces|isbn=0-486-63433-7}}
*{{cite book | author=Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi | title = Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996 (New edition) |isbn = 0471157325}}
* {{cite book|last=Spivak|first=Michael|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)|year=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-72-1}}

==外部链接==
* 关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf {{Wayback|url=https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf |date=20170815125939 }}



{{曲率}}

[[Category:微分几何]]
[[Category:曲面的微分几何]]
[[Category:黎曼几何]]
[[Category:曲率]]