查看“︁符号函数”︁的源代码

{{函數
|name = 符號函數
|image = Signum function.png

|heading1 =1
|parity =[[奇函數]]
|domain =  (-∞,∞)
|codomain = <math>\operatorname{sgn}x \in \{-1,0,1\}</math>
|period = N/A

|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf = 1
|minusinf =-1
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|asymptote = N/A
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|critical = N/A
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}}
{{函數圖形|title=符號函數的微分|start=-0.5|end=0.5|sampling=200|width=200|height=100|min=-5|max=5
|sgn(x)|sgn(x)|calc diff 2=1
|caption=符號函數（藍色）、符號函數的微分（橘色），其中，符號函數的微分正好是2倍的[[狄拉克δ函数]]}}
'''符號函數'''（'''Sign function'''，簡稱'''sgn'''）是一個[[邏輯]]函數，用以判斷[[實數]]的正[[負數|負]]號。為避免和英文讀音相似的[[正弦函數]]（sine）混淆，它亦稱為'''Signum function'''。其定義為：

:<math> \sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1 & : &  x < 0 \\
0 & : &  x = 0 \\
1 & : &  x > 0 \end{matrix} \right. </math>

==性质==
用[[艾佛森括號]]定義：
:<math>\sgn x = -[x < 0] + [x > 0] </math>

任何[[實數]]都可以表示為其[[絕對值]]和符號函數的積：
: <math>x=(\sgn x)|x|</math>

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：
: <math> \sgn x = {x \over |x|}</math>

符號函數是絕對值函數的導數：
:<math> \frac{d|x|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \sgn x </math>

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是[[狄拉克δ函數]]的兩倍：
:<math> {d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x) </math>

它和[[單位步階函數]]的關係：
: <math> \sgn x = 2 H_{1/2}(x) - 1</math>

==推广到复数==
符號函數可以推廣到[[复数 (数学)|複數]]：對於任意<math>z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}</math>，
:<math>\sgn z = \frac z{|z|}</math>
对于任何''z'' ∈ <math>\mathbb{C}</math>，除了''z'' = 0以外。复数''z''的符号函数，是[[复平面]]上中心为[[原点]]的[[单位圆]]上距离''z''最近的点。那么，对于''z'' ≠ 0，有：
:<math>\sgn z = \exp(i\arg z)\,,</math>
其中arg表示[[辐角]]。<br />
出于对称的原因，并且为了实现对实数的符号函数的适当推广，对于z = 0，也常常在复数域中定义：  
:<math>\sgn 0 = \sgn (0+0i) = 0.</math>
符号函数在复数范围的另外一个推广是''csgn''函数，定义为：
:<math>
 \operatorname{csgn}(z)= \begin{cases}
 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \lor (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\
 -1 & \text{if } \Re(z) < 0 \lor (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\
 0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. 
\end{cases}
</math>
即是在一四象限及 xy 轴正半轴為1，二三象限及 xy 轴负半轴为-1，原点為0。
<br />
对于 csgn，我们有（除了''z'' = 0以外）：
:<math>\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}. </math>

[[Category:基本特殊函数]]