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'''笛卡爾數'''（Descartes number）指的是假若將其中一個[[合成數]][[因數]]當成[[質數]]處理，就會變成[[完全數]]的奇數。這類數字以[[勒内·笛卡爾]]為名，而這是因為笛卡爾注意到說假若把{{math|22021}}當成質數處理的話，那麼{{math|''D'' {{=}} 3<sup>2</sup>⋅7<sup>2</sup>⋅11<sup>2</sup>⋅13<sup>2</sup>⋅22021 {{=}} (3⋅1001)<sup>2</sup>&thinsp;⋅&thinsp;(22⋅1001 − 1) {{=}} 198585576189}}就會滿足完全數的條件之故，而這是因為假若把{{math|22021}}當成質數處理的話，其[[除數函數|正因數的和]]就會滿足下式：

:<math>\begin{align}
\sigma(D) 
&= (3^2+3+1)\cdot(7^2+7+1)\cdot(11^2+11+1)\cdot(13^2+13+1)\cdot(22021+1) 
= (13)\cdot(3\cdot19)\cdot(7\cdot19)\cdot(3\cdot61)\cdot(22\cdot1001) \\
&= 3^2\cdot7\cdot13\cdot19^2\cdot61\cdot(22\cdot7\cdot11\cdot13) = 2 \cdot (3^2\cdot7^2\cdot11^2\cdot13^2) \cdot (19^2\cdot61) = 2 \cdot (3^2\cdot7^2\cdot11^2\cdot13^2) \cdot 22021 = 2D,
\end{align}</math>

當然在事實上，22021是一個合成數（{{math|22021 {{=}} 19<sup>2</sup>&thinsp;⋅&thinsp;61}}），因此198585576189並不是完全數，而198585576189是笛卡爾數的一個例子。

笛卡爾數可定義為滿足{{math|''n'' {{=}} ''m''&thinsp;⋅&thinsp;''p''}}的奇數{{math|''n''}}，在其中{{math| ''m'' }}與{{math| ''p'' }}[[互質]]且{{math|2''n'' {{=}} σ(''m'')&thinsp;⋅&thinsp;(''p'' + 1)}}，而此處的{{math|''p''}}是一個被當成質數處理但實質上是合成數的「假質數」（spoof prime）。上面給出的例子是截至目前為止唯一已知的笛卡爾數的例子。

若{{math|''m''}}是一個[[殆完全數]]，{{NoteTag|截至目前為止，所有已知的殆完全數都是[[2的幂|2的非負次幂]]，因此唯一已知奇數的殆完全數為{{math|2<sup>0</sup> {{=}} 1.}}。}}，也就是說若{{math|σ(''m'') {{=}} 2''m'' − 1}}且{{math| 2''m'' − 1 }}是一個「假質數」，那麼{{math|''n'' {{=}} ''m''&thinsp;⋅&thinsp;(2''m'' − 1)}}就會是一個笛卡爾數，而這是因為{{math|σ(''n'') {{=}} σ(''m''&thinsp;⋅&thinsp;(2''m'' − 1)) {{=}} σ(''m'')&thinsp;⋅&thinsp;2''m'' {{=}} (2''m'' − 1)&thinsp;⋅&thinsp;2''m'' {{=}} 2''n''}}之故；而若{{math|2''m'' − 1}}是一個質數的話，那{{math|''n''}}就會是一個奇完全數。

==性質==
班柯斯（Banks）等人在2008年證明說，若{{math|''n''}}是一個無立方因子數，且{{math|''n''}}不能為<math>3</math>所除盡，那麼{{math|''n''}}就會有超過一百萬個彼此相異的質因數。

==推廣==
約翰·渥伊多（John Voight）提出一個容許負整數的推廣版笛卡爾數，他發現說在考慮負整數的狀況下，<math>3^4 7^2 11^2 19^2 (-127)^1 </math>這數字會符合笛卡爾數的定義。<ref name="Quanta">{{cite news |last1=Nadis |first1=Steve |title=Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem |url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/ |access-date=3 October 2021 |work=Quanta Magazine |date=September 10, 2020 |archive-date=2023-04-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230427082957/https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/ |dead-url=no }}</ref>之後一群來自[[楊百翰大學]]的學者發現了更多類似的例子，<ref name="Quanta"/>並加入了另一類的「假質數」，而這另一類的「假質數」允許在質因數分解時其中一個質數與另一個質數相同。<ref name="BYU">{{cite journal |last1=Andersen, Nickolas; Durham, Spencer ; Griffin, Michael J. ; Hales, Jonathan ; Jenkins, Paul ; Keck, Ryan ; Ko, Hankun ; Molnar, Grant; Moss, Eric ; Nielsen, Pace P. ; Niendorf, Kyle ; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill ; Wu, Dongsheng |title=Odd, spoof perfect factorizations |journal=J. Number Theory |year=2020 |issue=234 |page=31-47|arxiv=2006.10697 }} [https://arxiv.org/abs/2006.10697 arXiv version] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/2006.10697 |date=20230531191458 }}</ref>

==參見==
*{{link-en|艾狄胥－尼古拉斯數|Erdős–Nicolas number}}，另一類的殆完全數

==註釋==
{{NoteFoot}}

==引文來源==
<references />

==參考資料==
* {{cite book | last1=Banks | first1=William D. | last2=Güloğlu | first2=Ahmet M. | last3=Nevans | first3=C. Wesley | last4=Saidak | first4=Filip | chapter=Descartes numbers | pages=167–173  | editor1-last=De Koninck | editor1-first=Jean-Marie | editor1-link=Jean-Marie De Koninck | editor2-last=Granville | editor2-first=Andrew | editor2-link=Andrew Granville | editor3-last=Luca | editor3-first=Florian | title=Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=CRM Proceedings and Lecture Notes | volume=46 | year=2008 | isbn=978-0-8218-4406-9 | zbl=1186.11004 }}
* {{cite book | last1=Klee | first1=Victor | author-link1=Victor Klee | last2=Wagon | first2=Stan | author-link2=Stan Wagon | title=Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory | series=The Dolciani Mathematical Expositions | volume=11 | location=Washington, DC | publisher=[[Mathematical Association of America]] | year=1991 | isbn=0-88385-315-9 | zbl=0784.51002 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/oldnewunsolvedpr0000klee }}

[[Category:除數函數]]
[[Category:整数数列]]