查看“︁立方根”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{unreferenced|time=2013-01-08T14:36:11+00:00}}
[[File:Cube root.svg|right|thumb|288px|<math>y = \sqrt[3]{x} \quad (x \ge 0)</math>的图像]]
如果一個[[數]]<math>x</math>的[[立方數|立方]]等於<math>a</math>，那麼這個數<math>x</math>就是<math>a</math>的'''立方根'''，其中<math>a</math>稱為'''被開方數'''，而<math>x</math>可以是[[正數]]、[[0]]、[[負數]]或[[虚数]]。例如3的立方為27，那麼這個數3就是27的一个立方根（在[[实数]]范围内）。若<math>x</math>是正[[實數]]，這個[[乘積]]相當於一個[[邊長]]為<math>x</math>的立方体的[[体積]]。

==符號==
在[[实数系]]中，实数<math>a</math>的立方根通常用<math>\sqrt[3]{a}</math>表示，可读作「<math>a</math>的立方根」，「立方根<math>a</math>」或「根號<math>a</math>開三次方」。

值得注意的是，{{Verify source|某个实数<math>a</math>的立方根在[[複數 (數學)|複數系]]中可能有1个，或者2个，或者3个}}，但在实数系中[[有且仅有]]1个。即在实数系中，实数<math>a</math>的立方根唯一确定。習慣上，三次根号<math>\sqrt[3]{a}</math>僅用来表示實數解。例如：<math>\sqrt[3]{1}</math>仅表示实数1，而不表示複數<math>\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}</math>，与<math>\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}</math>。

==1的立方根==
即解<math>x^3=1</math>，解法如下：
:<math>\Rightarrow x^3 - 1 = 0</math>
:<math>\Rightarrow (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0</math>（[[立方差]]）
:<math>\Rightarrow x - 1 = 0</math>或<math>x^2 + x + 1 = 0</math>
:<math>\Rightarrow x = 1</math>或<math>x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}</math>（[[一元二次方程#公式解法|公式解]]）

令<math>\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}</math>，則<math>\omega^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}</math>；反之，令<math>\omega = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}</math>，則<math>\omega^2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}</math>。由以上的式子可看出<math>\omega</math>的特性有：
* {{計算結果|ω^2+ω+1}}
* {{計算結果|ω^3}}（將<math>\omega</math>代回<math>x^3=1</math>求得）

故<math>\omega</math>可代表<math>\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}</math>中的任何一數，即<math>\omega</math>為1的立方虛根。

== 數值方法 ==
* [[牛頓法]]：<math>x_{i+1} = \frac{1}{3} \left(\frac{a}{x_i^2} + 2x_i\right)</math>
* {{link-en|哈雷法|Halley's method}}：<math>x_{i+1} = x_i \left(\frac{x_i^3 + 2a}{2x_i^3 + a}\right)</math>

==符号史== 
1220年[[意大利]]人[[斐波那契]]第一次使用<math>\operatorname{R}x</math>來表達立方根，<math>\operatorname{R}</math>源于拉丁文{{lang|la|radix}}的首字母，意思为“根、方根”。

[[十七世紀]]初時，[[法國]][[數學家]][[笛卡兒]]（1596－1650）在他的著作[[幾何學]]中第一次使用不連續的「√」及「￣」表示根號，其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶，数学家卢贝（{{lang|en|Loubere}}）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号<math>\sqrt{\color{white} x}</math>。

==參見==
* [[方根]]

==外部連結==
{{Portal|数学}}
*{{mathworld|urlname=CubeRoot|title=立方根}}

[[Category:初等代数|L]]