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[[File:Sumofcubes.png|thumb|150px|立方和的簡單圖解]]
'''立方和'''是數學公式的一種，它屬於[[因式分解]]、[[乘法公式]]及[[恆等式]]，被普遍使用。立方和是指一個[[立方數]]，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下：<ref>{{cite web|title=Factorization of x^3 + y^3|url=https://www.qc.edu.hk/math/Junior%20Secondary/sum%20of%20two%20cubes.htm|website=Queen's College On The Web|language=en|access-date=2018-10-16|archive-date=2021-02-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210206141851/https://www.qc.edu.hk/math/Junior%20Secondary/sum%20of%20two%20cubes.htm}}</ref>
:<math>a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=(a\pm b)^3\mp 3ab(a\pm b)</math>

立方和被因式分解後，答案分別包含[[二項式]]及[[三項式]]，與立方差相同。

==驗證==
===主驗證===
驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式：
:<math>a^2b - a^2b + ab^2 - ab^2 = 0 \,\!</math>
然後代入：
:<math> a^3 + b^3  = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \,\!</math>
透過因式分解，可得：
:<math> a^3 + b^3  = a(a^2 - ab + b^2) + b (a^2 - ab + b^2) \,\!</math>
:<math> a^3 + b^3  = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \,\!</math>
這樣便可驗證：<math>a^3+b^3 \equiv (a+b)(a^2-ab+b^2) </math>

===和立方驗證===
透過[[和立方]]可驗證立方和的原理：
:<math>(x + y)^3 \,\!</math>
:<math>= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \,\!</math>
那即是只要減去<math>3x^2y</math>及<math>3xy^2</math>便可得到立方和，可設：
:<math> x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2  \,\!</math>
:右邊的方程 <math> = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 \,\!</math>
運用因式分解的方法：
:<math>= (x + y)^3 - 3xy (x + y) \,\!</math>
:<math>= (x + y) \left[ (x + y)^2 - 3xy \right] \,\!</math>
:<math>= (x + y) (x^2 + 2xy + y^2 - 3xy) \,\!</math>
:<math>= (x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\! </math>

這樣便可驗證出：<math>x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \,\!</math>

===幾何驗證===
[[File:sum_of_cubes.png|thumb|280px|圖象化<math>a^3 + b^3</math>]]
透過繪[[立體圖|立體的圖像]]，也可驗證立方和。<ref>{{cite web|title=History Dudeney Canterbury puzzles elliptic curves|url=http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/94/cubes.sum|accessdate=1994-11-12|language=en|archive-date=2007-08-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20070808003855/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/94/cubes.sum|dead-url=unfit}}</ref>
根據右圖，設兩個立方，總和為：
:<math>x^3 + y^3 \,\!</math>
把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：
:<math>(x + y)^3 \,\!</math>
要得到<math>x^3 + y^3</math>，可使用<math>(x + y)^3</math>的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：
*<math>x \times y \times (x+y)</math>
*<math>x \times (x+y) \times y</math>
*<math>(x+y) \times y \times x</math>
把三個部分加在一起，便得：
:<math>= xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) \,\!</math>
:<math>=3xy(x + y) \,\!</math>
之後，把<math>(x + y)^3</math>減去它，便得：
<math>=(x + y)^3 - 3xy(x + y) \,\!</math>
上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：
:<math>=(x + y) \left[ (x + y)^2 - 3xy \right] \,\! </math>
<math>(x + y)^2</math>可透過[[和平方]]公式，得到：
:<math>=(x + y) (x^2 + 2xy + y^2 - 3xy) \,\! </math>
:<math>=(x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\! </math>
這樣便可證明<math> x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\! </math>

===反驗證===
透過<math>(a + b)(a^2 - ab + b^2) </math>也可反驗證立方和。
:<math>(a + b)(a^2 - ab + b^2) \,\! </math>
:<math>= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \,\! </math>
:<math>= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \,\! </math>
:<math>= a^3 + b^3 \,\!</math>

以上計算方法亦可簡化為一個表格：
{| class="wikitable" valign="center"
|+ <math>a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)</math>
! width="50" align="center"| x)
! width="50" align="center"| <math>+a^2</math>
! width="50" align="center"| <math>-ab</math>
! width="50" align="center"| <math>+b^2</math>
|-
! align="center"| <math>+a</math>
| align="center" | <math>+a^3</math>
| align="center" | <math>-a^2b</math>
| align="center" | <math>+ab^2</math>
|-
! align="center"| <math>+b</math>
|align="center" | <math>+a^2b</math>
|align="center" | <math>-ab^2</math>
|align="center" | <math>+b^3</math>
|-
|}

這樣便可證明<math> a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \,\! </math>

==立方差==
立方差也可以使用立方和來驗證，例如：
:<math>125u^3 - 343v^3 \,\!</math>
把兩個數項都轉為立方數：
:<math>=(5u)^3 - (7v)^3 \,\!</math>
運用負正得負，可得：
:<math>= (5u)^3 + (-7v)^3 \,\!</math>
然後運用立方和，可得：
:<math>= \left[ 5u + (-7v) \right] \left[ 25u^2 - (5u) (-7v) + (-7v)^2 \right]</math>
:<math>=(5u - 7v) (25u^2 + 35uv + 49v^2) \,\!</math>
這個方法更可驗證到立方差的公式是<math>a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \,\!</math>

==兩組立方和的數==
有些整數可以有兩個立方和組合，<ref>{{cite web|title=The Hardy-Ramanujan Number|url=http://www.jimloy.com/number/hardy.htm|website=Jimloy.com|language=en|access-date=2018-01-16|archive-date=2013-05-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20130528062543/http://www.jimloy.com/number/hardy.htm|dead-url=yes}}</ref>
而最少的，已是過千的[[1729]]。它是兩組不同的立方和：
:<math>1729 = 1^3 + 12^3 \,\!</math>
:<math>1729 = 9^3 + 10^3 \,\!</math>

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是[[4104]]：
:<math>4104 = 9^3 + 15^3 \,\!</math>
:<math>4104 = 2^3 + 16^3 \,\!</math>

首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

==参见==
*[[幾何學]]
*[[工程學]]
{{Wikibooks|算术/立方和}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
{{basic identity}}

[[Category:數學公式|L]]
[[Category:初等代数|L]]