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{{no footnotes|time=2019-07-26T01:28:09+00:00}}
在[[数学]][[动力系统]]的研究中，'''稳定（或不稳定）流形'''指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。 

== 定义 ==
以下提供[[迭代函数]]或離散[[動態系統]]情況下的定義。类似的概念适用于时间演变是由[[流 (数学)|流]]给出的系统。 

令<math>M</math>是[[拓扑空间]]，<math display="inline">f\colon X\to X</math>是[[同胚]]的。如果<math display="inline">p</math>是<math display="inline">f</math>的[[不動點]]，<math display="inline">p</math>的'''穩定集'''定義為

: <math>W^s(f,p) =\{q\in X: f^n(q)\to p \mbox{ as } n\to \infty \}.</math>

而<math display="inline">p</math>的'''不稳定集'''定義為

: <math>W^u(f,p) =\{q\in X: f^{-n}(q)\to p \mbox{ as } n\to\infty \}.</math>

其中<math>f^{-1} </math>是<math display="inline">f</math>的反函數。

如果<math display="inline">p</math>是一個周期為<math>k </math>的[[週期點]]，那麼他就是<math>f^{k}</math>的不動點，而且對其穩定集和不穩定集有

:<math>\begin{align}
W^s(f,p)&=W^s(f^k,p),\\
W^u(f,p)&=W^u(f^k,p).
\end{align}</math>

給定<math display="inline">p</math>的[[邻域]]<math>{U}</math>，<math display="inline">p</math>的'''局部穩定和不穩定集'''分別定義為

:<math>\begin{align}
W^s_{\mathrm{loc}}(f,p,U) &= \{q\in U: f^n(q)\in U\;\forall n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\},\\
W^u_{\mathrm{loc}}(f,p,U) &= W^s_{\mathrm{loc}}(f^{-1},p,U).
\end{align}</math>

如果<math> X</math>[[乌雷松度量化定理|可度量化]]，那麼對任意點<math display="inline">p</math>也可以定義稳定和不稳定集為

: <math>\begin{align}
W^s(f,p)&= \{q\in X: d(f^n(q),f^n(p))\to 0 \mbox { for } n\to \infty \},\\
W^u(f,p)&= W^s(f^{-1},p),
\end{align}</math>

其中<math>d</math>是<math>X </math>的[[距离函数|度量]]（這個定義清楚的會和前面週期點的情況相符合）。

==相關條目==
*[[极限集合]]
*[[朱利亚集合]]
*[[中心流形]]
*[[穩定流形定理]]

==參考資料==
*{{cite book |first=Ralph |last=Abraham |first2=Jerrold E. |last2=Marsden |title=Foundations of Mechanics |year=1978 |publisher=Benjamin/Cummings |location=Reading Mass. |isbn=0-8053-0102-X }}
*{{cite book |first=S. S. |last=Sritharan |title=Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition |url=https://archive.org/details/invariantmanifol0000srit |year=1990 |publisher=John Wiley & Sons |location=New York |isbn=0-582-06781-2 }}
*This article incorporates material from [https://planetmath.org/node/34357 Stable manifold] {{Wayback|url=https://planetmath.org/node/34357 |date=20140723235519 }} on [[PlanetMath]], which is licensed under the [[Wikipedia:CC_BY-SA_3.0协议文本|Creative Commons Attribution/Share-Alike License]].
[[Category:流形]]
[[Category:动力系统]]