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{{about|範疇之間的運算|範疇內物件的運算|積 (範疇論)}}

[[數學]]分支[[範疇論]]中，兩個[[範疇 (數學)|範疇]]<math>\mathcal {C, D}</math>之'''積'''，是[[集合 (數學)|集合]]的[[笛卡兒積]]的延申。乘積以<math>\mathcal {C \times D}</math>表示，其結果又稱'''積範疇'''<ref>{{樂詞網|term = 積範疇}}</ref>（{{lang-en|product category}}）。定義[[函子#雙函子與多函子|雙函子及多函子]]時，要用到積範疇。{{sfn|Mac Lane|1978}}

==定義==
積範疇<math>\mathcal{C \times D}</math>的組成部分有：
*[[對象 (範疇論)|物件]]，為
*:有序對<math>(A, B)</math>，其中<math>A</math>是<math>\mathcal C</math>的物件，而<math>B</math>是<math>\mathcal D</math>的物件；
*[[態射]]，由物件<math>(A_1, B_1)</math>至物件<math>(A_2, B_2)</math>的態射為：
*:有序對<math>(f, g)</math>，其中<math>f: A_1 \to A_2</math>是<math>\mathcal C</math>的態射，<math>g: B_1 \to B_2</math>是<math>\mathcal D</math>的態射；
*態射間的複合運算，是逐個分量的複合：
*:<math>(f_2, g_2) \circ (f_1, g_1) = (f_2 \circ f_1, g_2 \circ g_1);</math>
*物件上的恆等態射，由各分量上的恆等態射組成：
*:<math>1_{(A, B)} = (1_A, 1_B).</math>

==與其他概念的關係==
兩個{{le|小範疇|Small category}}之積，是其作為{{le|小範疇範疇|Category of small categories}}<math>\mathbf{Cat}</math>的物件的[[積 (範疇論)|乘積]]。定義域為積範疇的[[函子]]，也稱為'''{{le|雙函子|bifunctor}}'''。重要例子有{{le|Hom函子|Hom functor}}，其定義域為某範疇<math>\mathcal C</math>及其{{le|對偶 (範疇論)|Dual (category theory)|對偶範疇}}<math> \mathcal C^\mathrm{op}</math>之積： 

:<math>\mathrm{Hom}:\mathcal C^\mathrm{op} \times \mathcal C \to \mathbf{Set}.</math>

==多個範疇之積==
正如二元[[笛卡兒積]]可以推廣到[[笛卡儿积#笛卡儿平方和n元乘积|''n''元笛卡兒積]]，範疇的二元積亦同樣可以推廣到<math>n</math>元積。若[[Up to|不別同構之異]]，則二元範疇積[[可交換]]及[[可結合]]，故此<math>n</math>元推廣在理論上並無定義額外的新事物。

==參考文獻==
=== 引用 ===
{{Reflist}}
=== 来源 ===
* Definition 1.6.5 in {{Cite book| publisher = Cambridge University Press| isbn = 0-521-44178-1| volume = Volume 1| last = Borceux| first = Francis| title = Handbook of categorical algebra|trans-title = 範疇代數手冊| series = Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]| date = 1994| page = [https://archive.org/details/handbookofcatego0000borc/page/22 22]| url = https://archive.org/details/handbookofcatego0000borc/page/22 |language = en}}
* {{nlab|id=product+category|title=Product category}}
* {{Cite book|title=Categories for the Working Mathematician|trans-title = 數學家的範疇論|last=Mac Lane|first=Saunders|date=1978|publisher=Springer New York|isbn=1441931236|edition=Second|location=New York, NY|pages=49–51|oclc=851741862|language = en|ref=harv}}

{{範疇論}}

[[Category:範疇論]]