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[[数学]]中，给出[[可测空间]]和其上的[[测度]]，可以获得'''积可测空间'''和其上的'''积测度'''。概念上近似于[[集合 (數學)|集合]]的[[笛卡儿积]]和两个[[拓扑空间]]的[[积拓扑]]。

设<math>(X_1, \Sigma_1)</math>和<math>(X_2, \Sigma_2)</math>是两个[[测度空间]]，就是说<math>\Sigma_1</math>和<math>\Sigma_2</math>分别是在<math>X_1</math>和<math>X_2</math>上的[[σ代数]]，又设<math>\mu_1</math>和<math>\mu_2</math>是其上的测度。以<math>\Sigma_1 \times \Sigma_2</math>记形如<math>B_1 \times B_2</math>的[[子集]]产生的[[笛卡儿积]]<math>X_1 \times X_2</math>上的σ代数，其中<math>B_1 \in \Sigma_1</math>及<math>B_2 \in \Sigma_2</math>。

'''积测度'''<math>\mu_1 \times \mu_2</math>定义为在可测空间<math>(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2)</math>上唯一的测度，适合

:<math> (\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)</math>    

对所有 

:<math> B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2</math>。

事实上对所有可测集''E''，

:<math>(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E_y)\,\mu_2(dy) = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,\mu_1(dx)</math>，

其中<math>E_x=\{y\in X_2 | (x,y) \in E\}</math>，<math>E_y=\{x\in X_1 | (x,y) \in E\}</math>，两个都是可测集。

这测度的存在性和唯一性是得自[[哈恩-柯尔莫哥洛夫定理]]. 

[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>上的[[博雷尔测度]]可得自''n''个[[实数轴]]'''R'''上的博雷尔测度的积。

==參考文獻==
{{planetmath|urlid=productmeasure|title=Product measure}}

[[Category:测度论|J]]