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{{NoteTA|G1=Math}}
{{中值定理}}
'''积分第一中值定理'''的内容为：

设 <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbf R</math> 为一[[连续函数]]，<math>g:[a,b]\rightarrow \mathbf R</math> 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 <math>\xi\in [a,b]</math> 使得

: <math>\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx</math>。

事实上，可以证明，上述的中值点<math>\xi</math>必能在[[开区间]]<math>(a,b)</math>内取得<ref>{{cite book|title=数学分析 上册| edition=第三版| pages=第219页| author=华东师范大学数学系| publisher=高等教育出版社| year=2006}}</ref>，见下方中值点在开区间内存在的证明。

==证明==

因为 <math>f\ </math> 是[[闭区间]]上的连续函数，<math>f\ </math> 取得[[最大值]] <math>\Mu\ </math> 和[[最小值]] <math>\mu\ </math>。于是
: <math>\Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)</math>。
对[[不等式]]求[[积分]]，我们有
: <math>\Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x</math>。
若 <math>\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0</math>，则 <math>\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0</math>。<math>\xi\ </math> 可取 <math>[\alpha,\beta]\ </math> 上任一点。

设 <math>\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0</math>，那么
: <math>\Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu</math>。
因为 <math>\Mu\geq f(x)\geq\mu</math>是连续函数，根據介值定理，必存在一点 <math>\xi\in[\alpha,\beta]</math>，使得
: <math>f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}</math>。

==中值点在开区间内存在的证明==

已知<math>f(x)</math>在<math>[a,b]</math>上连续，设<math>F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt</math>。

知<math>F(x)</math>在<math>[a,b]</math>上连续，在<math>(a,b)</math>内可导，应用[[拉格朗日中值定理]]，可得：
: <math>\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)</math>，其中<math>\xi\in(a,b)</math>

即
: <math>\dfrac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi)</math>

所以
: <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)</math>。

==参考文献==
<references/>
由微积分基本性质，当被积函数在[a,b]上连续时，原函数在[a,b]上是可导的，而拉格朗日定理的假设是“f(x)在（a,b）内可导"
所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”应该改为
“知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”
否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能

此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明，来解释为什么<math>\xi\in[a,b]</math>可以改为 <math>\xi\in(a,b)</math>。
因为 <math>f(x)</math>在 <math>[a,b]</math>上连续，所以<math>f(x)</math>在 <math>[a,b]</math>上有最大值 <math>M</math>和最小值 <math>m</math>。设<math>f(x_1)=m</math>，<math>f(x_2)=M</math>，<math>x_1</math>，<math>x_2</math><math>\in[a,b]</math>，如果<math>m=M</math>，则<math>f(x)</math>是常值函数，任取<math>\xi\in(a,b)</math>即可。如果 <math>m<M</math>，由于函数<math>M-f(x)</math>连续且有一点<math>x_1</math>使 <math>M-f(x_1)>0</math> ，所以由积分性质有
<math>\int_{a}^{b}[M-f(x)]\,dx>0</math>，即
:<math>M(b-a)>\int_{a}^{b}f(x)\,dx</math>
同理可得 <math>m(b-a)<\int_{a}^{b}f(x)\,dx</math>,故有
:<math>m<\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx<M</math>
由连续函数的介值定理，至少存在一点<math>\xi\in(x_1,x_2)</math>⊂<math>(a,b)</math>（或<math>(x_2,x_1)</math>⊂<math>(a,b)</math>），使得<math>\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi)</math>，即
:<math>\int_a^b f(x)\,dx= f(\xi)(b-a)</math>

注：以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大．第四版 上册》

==另请参见==
*[[中值定理]]


[[Category:积分学]]
[[Category:数学定理|J]]