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{{unreferenced|time=2018-06-03T23:09:41+00:00}}
'''積分變換'''（integral transform）是[[數學]]中作用于函数的[[算子]]，用以處理[[微分方程]]等問題。常見的有[[傅里葉變換]]、[[拉普拉斯變換]]等。

== 概述 ==
以一[[變數]]為 <math>t</math> 的[[函數]] <math>f(t)</math> 為例，<math>f(t)</math> 經過一積分轉換 <math>T</math> 得到 <math>Tf(u)</math>：

:<math> (Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt</math>

其中 <math>K</math> 是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的'''核函數'''（kernel function）或'''核'''（nucleus）。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。<math>f(t)</math> 称为象原函数，<math>Tf(u)</math> 称为 <math>f(t)</math> 的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。

有些積分變換有相對應的'''反積分變換'''（inverse transform），使得

:<math> f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf)(u)\, du</math>

而 <math> K^{-1}( u,t )</math> 稱為'''反核'''（inverse kernel）。

==積分變換表==
{| class="wikitable"
! scope="col" |积分变换
! scope="col" |符号
! scope="col" |''核K''
! scope="col" |''f''(''t'')
! scope="col" |''t''<sub>1</sub>
! scope="col" |''t''<sub>2</sub>
! scope="col" |''反核K''<sup>−1</sup>
! scope="col" |''u''<sub>1</sub>
! scope="col" |''u''<sub>2</sub>
|-
|{{tsl|en|Abel transform|阿贝尔积分变换}}
|F, f
|<math>\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}</math>
|
|''u''
|<math>\infty</math>
|<math>\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}</math> <ref>Assuming the Abel transform is not discontinuous at <math>u</math>.</ref>
|''t''
|<math>\infty</math>
|-
|相关 Legendre 变换（Associated Legendre transform）
|<math>\mathcal{J}_{n,m}</math>
|<math>(1-x^2)^{-m/2}P^{m}_n(x)</math>
|
|<math>-1</math>
|<math>1</math>
|
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|-
|[[傅里叶变换]]
|<math>\mathcal{F}</math>
|<math>e^{-2\pi iut}</math>
|<math>L_1</math>
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|<math>e^{2\pi iut}</math>
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|-
|[[傅立葉正弦變換|傅里叶正弦变换]]
|<math>\mathcal{F}_s</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(ut)</math>
|on <math>[0,\infty)</math>, real-valued
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(ut)</math>
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|-
|[[傅里叶正弦、余弦变换|傅里叶余弦变换]]
|<math>\mathcal{F}_c</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos(ut)</math>
|on <math>[0,\infty)</math>, real-valued
|0
|<math>\infty</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos(ut)</math>
|0
|<math>\infty</math>
|-
|[[漢克爾變換|汉克尔变换]]
|
|<math>t\,J_\nu(ut)</math>
|
|0
|<math>\infty</math>
|<math>u\,J_\nu(ut)</math>
|0
|<math>\infty</math>
|-
|{{tsl|en|Hartley transform|Hartley变换}}
|<math>\mathcal{H}</math>
|<math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
|
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|<math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|-
|{{Tsl|en|Hermite_transform|4=Hermite变换}}
|<math>H</math>
|<math>e^{-x^2} H_n(x)</math>
|
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|-
|[[希尔伯特变换]]
|<math>\mathcal{H}il</math>
|<math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
|
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|<math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|-
|{{Tsl|en|Jacobi_transform|4=Jacobi变换}}
|<math>J</math>
|<math>(1-x)^\alpha\  (1+x)^\beta \ P_n^{\alpha,\beta}(x)</math>
|
|<math>-1</math>
|<math>1</math>
|
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|-
|{{Tsl|en|Laguerre_transform|4=Laguerre变换}}
|<math>L</math>
|<math>e^{-x}\  x^\alpha \ L_n^{\alpha}(x)</math>
|
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|-
|[[拉普拉斯变换]]
|<math>\mathcal{L}</math>
|''e<sup>−ut</sup>''
|
|0
|<math>\infty</math>
|<math>\frac{e^{ut}}{2\pi i}</math>
|<math>c\!-\!i\infty</math>
|<math>c\!+\!i\infty</math>
|-
|{{Tsl|en|Legendre_transform_(integral_transform)|4=Legendre变换}}
|<math>\mathcal{J}</math>
|<math>P_n(x)\,</math>
|
|<math>-1</math>
|<math>1</math>
|
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|-
|[[梅林变换]]
|<math>\mathcal{M}</math>
|''t<sup>u</sup>''<sup>−1</sup>
|
|0
|<math>\infty</math>
|<math>\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,</math><ref>Some conditions apply, see [[Mellin inversion theorem]] for details.</ref>
|<math>c\!-\!i\infty</math>
|<math>c\!+\!i\infty</math>
|-
|[[双边拉普拉斯变换]]
|<math>\mathcal{B}</math>
|''e<sup>−ut</sup>''
|
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|<math>\frac{e^{ut}}{2\pi i}</math>
|<math>c\!-\!i\infty</math>
|<math>c\!+\!i\infty</math>
|-
|{{tsl|en|Poisson kernel|泊松核}}
|
|<math>\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}</math>
|
|0
|2π
|
|
|
|-
|[[拉東變換|拉东变换]]
|Rƒ
|
|
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|
|
|
|-
|{{tsl|en|Weierstrass transform|魏尔斯特拉斯变换}}
|<math>\mathcal{W}</math>
|<math>\frac{e^{-\frac{(u-t)^2}{4}}}{\sqrt{4\pi}}\,</math>
|
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|<math>\frac{e^{\frac{(u-t)^2}{4}}}{i\sqrt{4\pi}}</math>
|<math>c\!-\!i\infty</math>
|<math>c\!+\!i\infty</math>
|-
|{{Tsl|en|X-ray_transform|4=X-ray变换}}
|Xƒ
|
|
|<math>-\infty</math>
|<math>\infty</math>
|
|
|
|-
|[[狄拉克δ函数]]
|
|<math>\delta (u-t)\,</math>
|
|<math>t_1<u\,</math>
|<math>t_2>u\,</math>
|<math>\delta (t-u)\,</math>
|<math>u_1\!<\!t</math>
|<math>u_2\!>\!t</math>
|}
在反積分轉換中, 常數''c'' 由積分函數決定。

== 参见 ==
{{Portal|数学}}
* [[线性微分方程]]
* [[拉普拉斯变换]]
* [[常微分方程]]
* [[偏微分方程]]
* [[初值問題]]
* [[边值问题]]

{{Authority control}}
[[Category:数学分析]]
[[Category:积分变换]]