查看“︁积分判别法”︁的源代码

'''积分判别法'''，又称'''柯西积分判别法'''、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当<math>f(x)</math>非负递减时，級數<math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math>[[收歛]][[当且仅当]][[積分]]<math>\int_1^\infty f(x)\,dx</math>有限。在17、18世紀，[[馬克勞林]]和[[奧古斯丁·路易·柯西]]发展了這個方法。

==证明==
考虑如下积分
:<math>
\int_n^{n+1} f(x)\, dx
</math>
注意<math>f(x)</math>[[单调函数|单调递减]]，因此有：
:<math>
f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq f(n)
</math>
进一步地，考虑如下求和：
:<math>
\sum_{n=1}^{k} f(n+1) \leq 
\sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq
\sum_{n=1}^{k} f(n)
</math>
中间项的和为：
:<math>
\sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx= \int_1^{k+1} f(x)\, dx
</math>
对上述不等式取极限<math>k \to \infty</math>，有：
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty} f(n+1) \leq
\int_1^{\infty} f(x)\, dx \leq
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)
</math>
因此，若积分<math>\int_1^{\infty} f(x)\, dx</math>收敛，则无穷级数<math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)</math>收敛；若积分发散，则此级数发散。

==例子==
[[调和级数]]<math>\sum_{n=1}^\infty \frac1n</math>是发散的，因为它的原函数是[[自然对数]]：
:<math>
\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty
</math>，当<math>M\to\infty
</math>时。
而级数<math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}</math>则对所有的''ε'' > 0都是收敛的，因为：
:<math>
\int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx
=-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M=
\frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr)
\le\frac1\varepsilon
</math>，对于所有<math>M\ge1.
</math>

== 參考 ==
* Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc.,  New York, 1956. (&sect; 3.3) ISBN 0486601536
* Whittaker, E. T., and Watson, G. N., ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:级数]]
[[Category:积分学]]
[[Category:审敛法]]