查看“︁磁标势”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Physics}}
{{distinguish|磁矢势}}
'''磁标势'''（{{lang-en|'''Magnetic scalar potential'''}}）是描述[[磁场]]性质的一个有用的辅助量，尤其是在[[永磁体]]中。

在一个[[单连通]]、没有自由电流的区域，有

:<math>\nabla\times\mathbf{H}=0,</math>

这样，我们可以定义磁标势<math>\psi</math>为<ref>{{Cite book | isbn = 1-4020-2699-4 | last = Vanderlinde | first = Jack | title = Classical Electromagnetic Theory | year = 2005 | url = http://www.springerlink.com/index/10.1007/1-4020-2700-1 | ref = harv }}{{Dead link|date=2020年3月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>{{rp|194-199}}

:<math>\mathbf{H}=-\nabla\psi.</math>

又因为

:<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=\mu_{0}\nabla\cdot(\mathbf{H+M})=0,</math>

并且

:<math>\nabla^{2}\psi=-\nabla\cdot\mathbf{H}=\nabla\cdot\mathbf{M}.</math>

这里，<math>\nabla\cdot\mathbf{M}</math>充当了磁场的“源”，看起来就像是<math>\nabla\cdot\mathbf{P}</math>在[[电场]]中的角色。因此，类比束缚电荷，我们可以将

:<math>\rho_{m}=-\nabla\cdot\mathbf{M}</math>

称为“束缚[[磁单极子|磁荷]]”（虽然到目前为止尚未发现有单独的磁荷存在）。

如有区域存在自由电流，则可以从总的磁场中减去自由电流的贡献，利用磁标势方法求得剩余量。

== 利用磁标势求解磁場 ==
在[[靜磁學]]裏，描述在源電流四周的另外一個很有用的工具是磁标势。由於磁标势是一個純量，不是向量，大多數時候，使用磁标势可以使得運算更加簡便。但是，它只能使用在沒有源電流的空間。注意到靜磁學的兩個基本方程式為
:<math>\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}</math> 、
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B} =0</math> ；

其中，<math>\mathbf{H}</math> 是[[磁場強度]]（H場）。

假設[[電流密度]] <math>\mathbf{J}</math> 等於零，則 <math>\nabla\times\mathbf{H}=0</math> ，H場是個[[保守場]]，必定存在一個函數 <math>\psi_m</math> 滿足
:<math>\mathbf{H} = - \nabla\psi_m</math> 。

稱這函數為磁标势。在真空裏或各向同性、線性、均勻的介電質裏，則可將上述定義式代入高斯磁定律，稍加編排，表示為[[拉普拉斯方程式]]的形式：
: <math>\nabla^2\psi_m = 0</math>。

對於任意連續場 <math>\psi_m</math> ，其梯度的旋度為零。這意味著磁标势場不能存在有任何源電流。但是，實際而言，假若容許不連續線的存在於磁标势場（不連續點可以擁有兩種不同的數值），應用[[複分析]]，就可以計算源電流產生的磁場。這不連續線稱為[[割線]]（{{lang|en|line of cut}}）。當用磁标势來解析靜磁學問題時，源電流必須置放於割線。

===鐵磁性物質的磁标势===
在[[鐵磁性]]物質或[[永久磁鐵]]裏，B場 <math>\mathbf{B}</math> 、[[磁化強度]] <math>\mathbf{M}</math> 與H場 <math>\mathbf{H}</math> 之間的關係比較複雜：
:<math>\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}</math> 。

應用高斯磁定律，
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=\mu_0\nabla\cdot({\mathbf{H}+\mathbf{M}})=0</math> 。

立可得到
: <math>\nabla^2\psi_m = -\nabla\cdot\mathbf{H}=\nabla\cdot\mathbf{M}</math>。

<math>\nabla\cdot\mathbf{M}</math> 可以視為磁場的源電流，就好似 <math>\rho_{bound}=-\nabla\cdot\mathbf{P}</math> 是[[靜電學]]的[[束縛電荷]]一樣。這樣，類比束縛電荷，可以稱呼 <math>\rho_m=-\nabla\cdot\mathbf{M}</math> 為「束縛磁荷」。這樣，束縛磁荷的帕松方程式為
: <math>\nabla^2\psi_m = -\rho_m</math>。

這帕松方程式的解答為
:<math>\psi_m(\mathbf{r})=\  \frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho_m(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math> 。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
{{refbegin|2}}
* {{cite book | last = Duffin | first = W.J.| title = Electricity and Magnetism, Fourth Edition | publisher = McGraw-Hill | year = 1990 }}
* {{cite book|last= Feynman |first= Richard P |last2= Leighton |first2= Robert B |last3= Sands |first3= Matthew |year= 1964 |title= The Feynman Lectures on Physics Volume 2 |publisher= Addison-Wesley |isbn= 020102117XP |ref = {{harvid|Feynman|1964}}
}}
* {{cite book | last = Jackson | first = John David | title = Classical Electrodynamics, Third Edition | publisher = John Wiley & Sons
 | year = 1998 }}
* {{Citation |last=Jackson |first= John Davd |year= 1999 |title= Classical Electrodynamics |edition= 3rd |publisher= John-Wiley |isbn= 047130932X |doi=}}
* {{Citation |last=Kraus |first= John D. |year= 1984 |title= Electromagnetics |edition= 3rd |publisher= McGraw-Hill |isbn= 0070354235 |doi=}}
* {{cite book | last = Ulaby | first = Fawwaz | title = Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition | url = https://archive.org/details/fundamentalsappl00ulab_318 | publisher = Pearson Prentice Hall | year = 2007 | pages = [https://archive.org/details/fundamentalsappl00ulab_318/page/n240 226]–228 | isbn = 0-13-241326-4 }}
{{refend}}

== 相关条目 ==
* [[标量势]]
* [[磁矢势]]
{{電磁學}}
[[Category:磁学|M]]
[[Category:势|M]]