查看“︁矩陣乘法”︁的源代码

{{noteTA|G1 = Math}}
{{线性代数}}
{{各地中文名
|name=横向的一条线（row）
|cn=行
|tw=列
}}
{{各地中文名
|name=纵向的一条线（column）
|cn=列
|tw=行
}}

[[数学]]中，'''矩阵乘法'''（{{lang-en|matrix multiplication}}）是一种根据两个[[矩阵]]得到第三个矩阵的[[二元运算]]，第三个矩阵即前两者的乘积，称为'''矩阵积'''（{{lang-en|matrix product}}）。设<math>A</math>是<math>n\times m</math>的矩阵，<math>B</math>是<math>m\times p</math>的矩阵，则它们的矩阵积<math>AB</math>是<math>n\times p</math>的矩阵。<math>A</math>中每一行的<math>m</math>个元素都与<math>B</math>中对应列的<math>m</math>个元素对应相乘，这些乘积的和就是<math>AB</math>中的一个元素。

矩阵可以用来表示[[线性映射]]，矩阵积则可以用来表示线性映射的[[复合函数|复合]]。因此，矩阵乘法是[[线性代数]]的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在[[应用数学]]、[[物理学]]、[[工程学]]等领域也有广泛使用。<ref name="Physics 1991">{{cite book|title=Encyclopaedia of Physics|url=https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern|edition=2nd|first1=R. G. |last1=Lerner | first2= G. L. |last2 = Trigg|publisher=VHC publishers|date=1991|isbn=3-527-26954-1|language=en}}</ref><ref>{{cite book|title=McGraw Hill Encyclopaedia of Physics|edition=2nd|first = C. B. |last = Parker|date=1994|isbn=0-07-051400-3|language=en}}</ref>

==一般矩陣乘積==

矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的{{地区用词|start=column|cn=列数|tw=行數}}和第二個矩陣的{{地区用词|start=row|cn=行数|tw=列數}}相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若<math>A</math>為<math>m\times n</math>矩陣，''<math>B</math>''為<math>n\times p</math>矩陣，則他們的'''乘積'''''<math>AB</math>''(有時記做<math>A\cdot B</math>）會是一個<math>m\times p</math>矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出：

:<math> (AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} </math>

以上是用[[矩陣單元]]的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解，運算結果相等：

===由定義直接計算===

[[File:Matrix multiplication diagram.svg|left]]

左邊的圖表示出要如何計算''<math>AB</math>''的<math>(1,2)</math>和<math>(3,3)</math>元素，當''<math>A</math>''是個<math>4\times 2</math>矩陣和''B''是個<math>2\times 3</math>矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對，把每一對中的兩個元素相乘，再把這些乘積加總起來，最後得到的值即為箭頭相交位置的值。

:<math>(AB)_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}
</math>
:<math>(AB)_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}
</math>

===向量方法===

這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考：把[[向量]]和各[[係數]]相乘後相加起來。設'''''<math>\mathbf{A}</math>'''''和'''''<math>\mathbf{B}</math>'''''是兩個給定如下的矩陣：

:<math> \mathbf{A} =

\begin{bmatrix}
   a_{1,1} & a_{1,2} & \dots \\
   a_{2,1} & a_{2,2} & \dots \\
   \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   A_1 & A_2 & \dots
\end{bmatrix},

</math>   <math> \mathbf{B} =

\begin{bmatrix}
   b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \\
   b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \\
   \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   B_1\\
   B_2\\
   \vdots
\end{bmatrix}

</math>

其中
:<math>A_1</math>是由所有<math>a_{x,1}</math>元素所组成的向量(column)，<math>A_2</math>是由所有<math>a_{x,2}</math>元素所组成的向量，以此类推。
:<math>B_1</math>是由所有<math>b_{1,x}</math>元素所组成的向量(row)，<math>B_2</math>是由所有<math>b_{2,x}</math>元素所组成的向量，以此类推。

則

:<math>
\mathbf{AB}
=
\begin{bmatrix}
   a_{1,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{1,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\\\
   a_{2,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{2,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\
   \vdots
\end{bmatrix}
= A_1 B_1 + A_2 B_2 +\dots 

</math>

舉個例子來說：

:<math>
  \begin{bmatrix}
     1 & 0 & 2 \\
     -1 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\cdot
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   1 \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \\
   -1 \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix} 2 & 0 \end{bmatrix} \\
   \begin{bmatrix} -3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{bmatrix}

</math>
:<math>

=
\begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2
\end{bmatrix}

</math>

左面矩陣的列為為係數表，右邊矩陣為向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此將1乘上第一個向量，0乘上第二個向量，2則乘上第三個向量。

===向量表方法===

一般矩陣乘積也可以想為是[[行向量]]和[[列向量]]的[[內積]]。若'''''<math>\mathbf{A}</math>'''''和'''''<math>\mathbf{B}</math>'''''為給定如下的矩陣：

:<math> \mathbf{A} =

\begin{bmatrix}
   a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots \\
   a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots \\
   a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
   A_1 \\
   A_2 \\
   A_3 \\
   \vdots
\end{bmatrix}

</math>且<math>       \mathbf{B} =

\begin{bmatrix}
   b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & \dots \\
   b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & \dots \\
   b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} & \dots \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & \dots
\end{bmatrix}

</math>

其中，这里
:<math>A_1</math>是由所有<math>a_{1,x}</math>元素所組成的向量，<math>A_2</math>是由所有<math>a_{2,x}</math>元素所組成的向量，以此類推。
:<math>B_1</math>是由所有<math>b_{x,1}</math>元素所組成的向量，<math>B_2</math>是由所有<math>b_{x,2}</math>元素所組成的向量，以此類推。

则

:<math>
\mathbf{AB} =

\begin{bmatrix}
   A_1 \\
   A_2 \\
   A_3 \\
   \vdots
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & \dots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(A_1 \cdot B_1) & (A_1 \cdot B_2) & (A_1 \cdot B_3) & \dots \\
(A_2 \cdot B_1) & (A_2 \cdot B_2) & (A_2 \cdot B_3) & \dots \\
(A_3 \cdot B_1) & (A_3 \cdot B_2) & (A_3 \cdot B_3) & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots

\end{bmatrix}
</math>

即

:<math>
\left(\mathbf{AB} \right)_{ij}=A_iB_j

</math>

===性質===
矩陣乘法是不[[交換律|可交換]]的（即<math>AB\neq BA</math>），除了一些較特別的情況。很清楚可以知道，不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果，而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同，也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。

雖然矩陣乘法是不可交換的，但''<math>AB</math>''和''<math>BA</math>''的[[行列式]]總會是一樣的（當''<math>A</math>''、''<math>B</math>''是同樣大小的方陣時）。

當''<math>A</math>''、''<math>B</math>''可以被解釋為[[線性算子]]，其矩陣乘積''<math>AB</math>''會對應為兩個線性算子的[[複合函數]]，其中''B''先作用。

===在試算表中做矩陣乘法===
<math>
  \begin{bmatrix}
     1 & 0 & 2 \\
     -1 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\cdot
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2
\end{bmatrix}

</math>

以 Google Sheet 為例，選取儲存格範圍或者使用陣列，在儲存格輸入<syntaxhighlight lang="vbscript">
=MMULT({1,0,2;-1,3,1},{3,1;2,1;1,0})
</syntaxhighlight>在某些試算表軟體中必須必須按{{keypress|Ctrl|Shift|Enter}} 將儲存格內的變數轉換為陣列

==純量乘積==

矩陣''<math>A=(a_{ij})</math>''和純量<math>r</math>的純量乘積''<math>rA</math>''的矩陣大小和''<math>A</math>''一樣，''<math>rA</math>''的各元素定義如下：

: <math> (rA)_{ij} = r \cdot a_{ij} \ </math>

若我們考慮於一個[[环 (代数)|環]]的矩陣時，上述的乘積有時會稱做''左乘積''，而''右乘積''的則定義為
: <math> (Ar)_{ij} = a_{ij} \cdot r \ </math>

當環是[[交換律|可交換]]時，例如實數體或複數體，這兩個乘積是相同的。但無論如何，若環是不可交換的話，如[[四元數]]，他們可能會是不同的。例如，
:<math>
  i\begin{bmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    -1 & 0 \\
     0 & k \\
  \end{bmatrix}
\ne \begin{bmatrix}
    -1 & 0 \\
    0 & -k \\
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{bmatrix}i
</math>

==阿達馬乘積==
{{seealso|阿達瑪乘積 (矩陣)}}
給定兩個相同維度的矩陣可計算有'''阿達馬乘積'''（{{Lang|en|Hadamard product}}），或稱做'''逐項乘積'''、'''分素乘積'''（'''element-wise product''', '''entrywise product'''）。兩個''<math>m\times n</math>''矩陣<math>A</math>、''<math>B</math>''的[[雅克·阿達馬|阿達馬]]乘積標記為<math>A \circ B</math>，定義為
<math>(A \circ B)_{ij} = a_{ij}b_{ij}</math>的''<math>m\times n</math>''矩陣。例如，

:<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
\circ
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 2 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \\
    1 \cdot 7 & 0 \cdot 5 & 0 \cdot 0 \\
    1 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 4 \\
    7 & 0 & 0 \\
    2 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
</math>

需注意的是，阿達馬乘積是克羅內克乘積的[[子矩陣]]。

==克羅內克乘積==
{{main|克羅內克乘積}}

給定任兩個矩陣<math>A</math>和<math>B</math>，可以得到兩個矩陣的直積，或稱為[[利奧波德·克羅內克|克羅內克]]乘積<math>A\otimes B</math>，其定義如下
:<math>
  \begin{bmatrix}
    a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B
  \end{bmatrix} 
</math>

當<math>A</math>是一<math>m\times n</math>矩陣和<math>B</math>是一<math>p\times r</math>矩陣時，<math>A\otimes B</math>會是一<math>mp\times nr</math>矩陣，而且此一乘積也是不可交換的。

舉個例子，
:<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix}
    0 & 3 \\
    2 & 1 \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\
    1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\
    3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\
    3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\
  \end{bmatrix}

=
  \begin{bmatrix}
    0 & 3 & 0 & 6 \\
    2 & 1 & 4 & 2 \\
    0 & 9 & 0 & 3 \\
    6 & 3 & 2 & 1
  \end{bmatrix}
</math> 
 
若<math>A</math>和<math>B</math>分別表示兩個線性算子<math>V_1\to W_1</math>和<math>V_2\to W_2</math>，<math>A\otimes B</math>便為其映射的[[張量乘積]]，<math>V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2</math>

== 共同性質 ==
上述三種乘積都符合[[結合律]]：
: <math>A(BC) = (AB)C</math>
以及[[分配律]]：
: <math>A(B + C) = AB + AC</math>
: <math>(A + B)C = AC + BC</math>
而且和純量乘積相容：
: <math>c(AB) = (cA)B</math>
: <math>(Ac)B = A(cB)</math>
: <math>(AB)c = A(Bc)</math>
注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換（即純量體為一可交換環）時會相同。

==另見==
* [[Strassen演算法]]（1969）
* [[Winograd演算法]]（1980）
* [[Coppersmith–Winograd演算法]]（1990）
* [[邏輯矩陣]]
* [[矩陣鏈乘積]]
* [[逆矩陣]]
* [[關係複合]]
* [[BLAS]]
* [[矩陣加法]]
* [[矩阵微积分]]

==外部連結==

* [http://wims.unice.fr/~wims/en_tool~linear~matmult.html WIMS Online Matrix Multiplier] {{Wayback|url=http://wims.unice.fr/~wims/en_tool~linear~matmult.html |date=20040129060749 }}
* [http://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm Animated Matrix Multiplication Examples (purplemath)] {{Wayback|url=http://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm |date=20061021183521 }}

* [http://alexle.net/wp-content/uploads/2006/04/matrix.html Matrix Multipication in Javascript] {{Wayback|url=http://alexle.net/wp-content/uploads/2006/04/matrix.html |date=20060717142305 }}（works in Firefox）

==參考==

{{reflist}}

其它参考文献包括：

* Strassen, Volker, ''Gaussian Elimination is not Optimal'', Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
* Coppersmith, D., Winograd S., ''Matrix multiplication via arithmetic progressions'', J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
* Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
* Robinson, Sara, ''Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication,'' SIAM News 38(9), November 2005.

{{线性代数的相关概念}}
[[Category:矩陣論|Z]]
[[Category:二元運算|Z]]
[[Category:乘法]]
[[Category:双线性算子]]

[[de:Matrix (Mathematik)#Matrizenmultiplikation]]