查看“︁矩阵的平方根”︁的源代码

在[[数学]]中，'''[[矩阵]]的平方根'''是算术中的[[平方根]]概念的推广。对一个矩阵'''A'''，如果矩阵'''B'''满足
:<math>B \cdot B = A</math>
那么矩阵'''B'''就是'''A'''的一个平方根。

==计算==
与算术中的平方根概念不同，矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及[[矩阵乘法]]的定义，只有[[方块矩阵]]才有平方根。<ref>{{zh}}{{cite book|author=张贤达|title=矩阵分析与应用|publisher=清华大学出版社|year=2008|isbn=7302092710}}，第152页</ref>

===对角化算法===
如果矩阵的系数域是[[代数闭域]]，比如说[[复数 (数学)|复数]]域<math>\mathbb{C}</math>的时候，对于一个[[对角矩阵]]，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的'''[[对角化|可对角化矩阵]]'''。一个所谓的可对角化矩阵'''A'''是指可以通过[[相似矩阵|相似变换]]成为对角矩阵'''D'''的矩阵：
:<math>\exist P, \quad  A = PDP^{-1}</math>
其中的矩阵'''P'''是[[可逆矩阵|可逆]]的矩阵。在这种情况之下，假设矩阵'''D'''的形式是：
:<math>D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
                           0 & d_2 &  0  & \cdots & 0 \\
                           \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots \\
                           0 & \cdots & 0  & d_{n-1} & 0   \\
                           0  & \cdots & 0 & 0  & d_n  \end{bmatrix}</math>
那么矩阵'''A'''的平方根就是：
:<math>A^{\frac{1}{2}} =PD^{\frac{1}{2}} P^{-1}</math>
其中的<math>D^{\frac{1}{2}}</math>是：
:<math>D^{\frac{1}{2}} = \begin{bmatrix} \sqrt{d_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
                           0 & \sqrt{d_2} &  0  & \cdots & 0 \\
                           \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots \\
                           0 & \cdots & 0  & \sqrt{d_{n-1}} & 0   \\
                           0  & \cdots & 0 & 0  & \sqrt{d_n}  \end{bmatrix}</math><ref>{{en}}{{cite book|author=Alvin C. Rencher|title=Methods of Multivariate Analysis, 2nd Edition|url=https://archive.org/details/methodsofmultiva0000renc_y1h1|publisher=Wiley-Interscience|year=2002|isbn=978-0-471-41889-4}}，第36页</ref>

===丹曼-毕福斯迭代算法===
另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个<math>n \times n </math>矩阵'''A'''的平方根时，先设矩阵<math>Y_0 =  A </math>，<math>Z_0 =  I_n</math>（<math>I_n</math>是<math>n \times n </math>的[[单位矩阵]]）。然后用以下的迭代公式计算矩阵[[序列]]<math>\left( Y_k \right)_{k \geqslant 0} </math>和<math>\left( Z_k \right)_{k \geqslant 0} </math>：
:<math> Y_{k+1} = \frac{Y_k + Z_k^{-1}}{2}</math>
:<math> Z_{k+1} = \frac{Z_k + Y_k^{-1}}{2}</math>
这样的两个序列将会[[收敛]]到两个矩阵<math>Y </math>和<math>Z</math>上。其中<math>Y </math>将会是矩阵的平方根，而<math>Z</math>将是<math>Y </math>的逆矩阵。

==参见==
*[[平方根分解]]
*[[置换矩阵]]
*[[正定矩阵]]

==参考来源==
{{reflist}}
* {{citation | first1 = Sheung Hun | last1 = Cheng | first2 = Nicholas J. | last2 = Higham | author2-link = Nicholas Higham | first3 = Charles S. | last3 = Kenney | first4 = Alan J. | last4 = Laub | title = Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy | url = http://www.eeweb.ee.ucla.edu/publications/journalAlanLaubajlaub_simax22(4)_2001.pdf | journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 22 | year = 2001 | pages = 1112–1125 | doi = 10.1137/S0895479899364015 | issue = 4 | deadurl = yes | archiveurl = https://web.archive.org/web/20110809202647/https://eeweb.ee.ucla.edu/publications/journalAlanLaubajlaub_simax22(4)_2001.pdf | archivedate = 2011-08-09 }}
* {{citation | first1 = Eugene D. | last1 = Denman | first2 = Alex N. | last2 = Beavers | title = The matrix sign function and computations in systems | journal = Applied Mathematics and Computation | volume = 2 | year = 1976 | pages = 63–94 | doi = 10.1016/0096-3003(76)90020-5 | issue = 1 }}

[[Category:矩阵论]]