查看“︁矩形函数”︁的源代码

[[File:Rectangular function.svg|thumb|right|矩形函数]]

'''矩形函数'''的定义为，

:<math>\mathrm{rect}(t) = \Pi(t) = \begin{cases}
0           & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases} </math>

也可以将它定义为 <math>\mathrm{rect}(\pm 1/2)</math> 的值为 0、1 或者未定义的值，另外也可以用 [[单位阶跃函数]] <math>u(t)</math> 来定义：

:<math>\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right) </math>

或者，

:<math>\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) - u \left( t - \frac{1}{2} \right ) </math>

矩形函数归一化：

:<math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1</math>

矩形函数的[[傅立叶变换]]，

:<math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(f)</math>

或用用归一化[[Sinc函数]]表示为：

:<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2}\right)</math>,

我们可以将[[三角形函数]]定义为两个矩形函数的[[卷积]]：

:<math>\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t) </math>

如果将矩形函数当作一个[[概率分布]]函数，那么它的[[特征函数 (概率论)|特征函数]]是，

:<math>\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,</math>

并且它的[[动差生成函数]]为，

:<math>M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,</math>

其中 <math>\mathrm{sinh}(t)</math> 是[[双曲函数|双曲正弦]]函数。

==参见==

*[[傅立叶变换]]
*[[方波]]
*[[三角形函数]]

[[Category:基本特殊函数]]