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在[[数学]]中，'''相伴数列定理'''涉及[[数列|实数列]]，它指出相伴数列[[数列极限|收敛于同一极限]]。

== 定义 ==
如果两个实数列 (''<math display="inline">a_n</math>'') 和 (''<math display="inline">b_n</math>'') 一个单调递增无上界，一个单调递减无下界，且二者的差值趋近于0，那么称这两个实数列是'''相伴数列'''。

先假设数列 (''<math display="inline">a_n</math>'') 是单调递增的，数列 (''<math display="inline">b_n</math>'') 是单调递减的。

; 注意到
: 有<ref name="Wikiversité">参见法语维基学院关于[https://fr.wikiversity.org/wiki/Approfondissement_sur_les_suites_num%C3%A9riques/Suites_adjacentes 相伴数列] {{Wayback|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Approfondissement_sur_les_suites_num%C3%A9riques/Suites_adjacentes |date=20240424141245 }}的描述</ref>：''<math display="inline">\forall p,q \in \mathbb{Z}, a_p < b_q</math>''；特别的，''<math display="inline">\forall n \in \mathbb{Z}, a_n < b_n</math>''

== 叙述 ==
{{Math theorem
| math_statement = 假设 <math>a_n</math> 和 <math>b_n</math> 是一对相伴数列，那么它们[[收敛]]于同一极限 ''ℓ ''∈ ℝ。

此外，令 <math>a_n</math> 单调递增，<math>b_n</math> 单调递减，那么 <math>\forall 
 n \in  \mathbb{N} </math>, <math>a_n<\ell<b_n</math>
| name = 相伴数列定理
}}
这个定理可以以如下方式证明：<ref name="Wikiversité"/>在实数域中，单增有上界的数列必然收敛，这是由[[最小上界性]]（非空有上界的实数集必有上确界）给出的。因此，如果在有理数集中寻找有理极限，这个定理不成立。

甚至可以证明，这一性质与上确界性等价（见条目[[实数的构造]]）。与单增有上界的数列的性质相比，其优势不仅仅在于证明了数列的收敛性，更在于提供了一个想要的框架。

== 证明 ==
由<math>a_n</math>单调递增，<math>b_n</math>单调递减，则可以得到<math>a_n-b_n</math>单调递增

二者的差值趋近于0，于是有<math>\lim_{n\rightarrow+\infty}(a_n-b_n)=0</math>, 所以<math>a_n-b_n\leq0</math>

又因为<math>a_n</math>单调递增，<math>b_n</math>单调递减，<math>a_0\leq a_n\leq b_n\leq b_0</math>

由[[单调收敛定理]]，可以知道<math>a_n</math>和<math>b_n</math>极限必然存在

由[[數學極限|极限的四则运算]]<math>lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=lim_{n\rightarrow+\infty}(a_n-b_n)+lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=lim_{n\rightarrow+\infty}b_n</math>

== 应用 ==
在所有使用[[二分法 (數學)|二分法]]的问题中，在实数的十进制展开中，在[[连分数]]的书写中以及求积问题（圆的求积、抛物线的求积）问题中，都可以找到相伴数列定理的存在。

两个数列 (''<math display="inline">a_n</math>'') 和 (''<math display="inline">b_n</math>'') 是相伴数列，当且仅当由 <math>u_{2k}=b_k - a_k</math> 和 <math>u_{2k+1}=b_{k+1} - a_k</math> 定义的数列 (''<math display="inline">u_n</math>'') 符号恒定、绝对值严格单调递减且趋近于零；换言之，当通项为 ''<math display="inline">(-1)^nu_n</math>'' 的数列满足[[交错级数]]的收敛原则时，两个数列 (''<math display="inline">a_n</math>'') 和 (''<math display="inline">b_n</math>'') 是相伴数列。因此，莱布尼茨关于这种特殊的交错级数的审敛法等价于相伴数列定理。

== 注释 ==
<references />

== 參見 ==
*{{Internal link helper/fr|闭区间套定理|Théorème des fermés emboîtés}}


[[Category:分析定理]]
[[Category:序列]]