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{{Distinguish|交集|交叉性}}
'''相交理论'''（Intersection theory）是[[代数几何]]的主要分支之一，给出了给定[[代数簇]]的两个子簇的[[交点]]信息。{{sfn|Eisenbud|Harris|2016|p=14}}簇理论更老，源于曲线上的[[贝祖定理]]和[[消去理论]]；拓扑理论更快地达到了确定形式。

相交理论仍在不断发展。目前的主要重点是：虚基本循环、量子相交环、[[格罗莫夫-威滕量]]及将相交理论从[[概形]]推广到[[叠 (数学)|叠]]。{{sfn|Eisenbud|Harris|2016|p=2}}
==拓扑相交形式==
{{See also|ε-quadratic form#Manifolds|Intersection form (4-manifold)}}
对[[维度#流形|维度]]为{{math|2''n''}}的[[连通空间|连通]][[可定向性|有向流形]]{{mvar|M}}，'''相交形式'''是通过对{{math|''H''<sub>2''n''</sub>(''M'', ∂''M'')}}中的[[基类]]{{math|[''M'']}}的[[上积]]求值，从而定义在第{{mvar|n}}[[上同调]]群（通常称作“中维”）。确切地说，有[[双线性形式]]

:<math>\lambda_M \colon H^n(M,\partial M) \times H^n(M,\partial M)\to \mathbf{Z}</math>

由下式给出

:<math>\lambda_M(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf{Z}</math>

其中

:<math>\lambda_M(a,b)=(-1)^n\lambda_M(b,a) \in \mathbf{Z}.</math>

{{mvar|n}}为偶数时这是[[对称双线性形式]]（因此{{math|2''n'' {{=}} 4''k''}}），这时{{mvar|M}}的[[符号数]]被定义为形式的符号数；{{mvar|n}}为奇数时，则定义为交替形式。这些形式可统称为ε对称形，当中{{math|''ε'' {{=}} (−1)<sup>''n''</sup> {{=}} ±1}}分别表示对称形和斜对称形。某些情况下，可以将形式细化为{{mvar|ε}}二次型，但需要额外数据，如切丛的[[可平行化流形|框架]]。也可以去除有向性条件，改用{{math|'''Z'''/2'''Z'''}}系数。

这些形式是重要的[[拓扑不变量]]。例如，[[迈克尔·弗里德曼]]的一个定理指出，在[[同胚]]意义上，[[单连通]][[紧空间|紧]]4维流形（几乎）由其相交形式决定。


由[[庞加莱对偶性]]，我们可以从几何角度思考这个问题。试为{{mvar|a}}、{{mvar|b}}的庞加莱对偶择有代表性的{{mvar|n}}维子流形{{mvar|A}}、{{mvar|B}}，则{{math|''λ<sub>M</sub>''&thinsp;(''a'', ''b'')}}是{{mvar|A}}、{{mvar|B}}的有向交数（oriented intersection number），是良定义的，因为{{mvar|A}}、{{mvar|B}}维数之和等于{{mvar|M}}的维数，所以它们通常交于孤立的点。这就是“相交形式”这一术语的由来。
==代数几何中的相交理论==
[[威廉·富尔顿]]在《相交理论》（1984）中写道：

<blockquote>... 若{{mvar|A}}、{{mvar|B}}是非奇异簇{{mvar|X}}的子簇，那么交积{{math|''A'' · ''B''}}应是代数循环的等价类，代数循环与{{math|''A'' ∩ ''B''}}、以及{{mvar|A}}、{{mvar|B}}在{{mvar|X}}中的几何位置密切相关。有两种情况最著名。若相交是真相交（proper），即{{math|1=dim(''A'' ∩ ''B'') = dim ''A'' + dim ''B'' − dim ''X''}}，则{{math|''A'' · ''B''}}是{{math|''A'' ∩ ''B''}}的不可约成分的线性组合，系数是相交乘数。在另一个极端，若{{math|1=''A'' = ''B''}}是非奇异子簇，则自交公式表示{{math|''A'' · ''B''}}由{{mvar|X}}中{{mvar|A}}的[[法丛]]的顶[[陈类]]表示。</blockquote>

[[安德烈·韦伊]]《代数几何基础》（1946）中主要关注的是在一般情况下给出'''相交乘法'''的定义。1920年代，[[巴特尔·伦德特·范德瓦尔登]]的工作已经涉及这一问题；在意大利代数几何学派中，这观点已广为人知，但基础问题并未以同样的精神得到解决。

===移动循环===
要使[[循环 (代数)|循环]]{{mvar|V}}、{{mvar|W}}的相交机制运行良好，就不能只取循环的交集{{math|''V'' ∩ ''W''}}。若两个循环处于“良位置”，则“交积”{{math|''V'' · ''W''}}就应包含两个子簇的交集。循环若处于“不良位置”，例如平面上的两条平行线，或包含直线的平面（在3维空间相交），相交都应该只有一个点，因为若要移动一个循环，这就是交点。两循环{{mvar|V}}、{{mvar|W}}的交集{{math|''V'' ∩ ''W''}}的[[余维]]若等于{{mvar|V}}、{{mvar|W}}余维之和，就称相交为“真相交”（proper intersection）。
因此，我们使用循环上适当等价关系的“移动循环”概念。等价必须足够广，以至任给两个循环{{mvar|V}}、{{mvar|W}}都有等价循环{{math|''V′''}}、{{math|''W′''}}使相交{{math|''V′'' ∩ ''W′''}}为真相交。当然，另一方面，对第二等价的{{math|''V′′''}}、{{math|''W′′''}}，{{math|''V′'' ∩ ''W′''}}需要等价于{{math|''V′′'' ∩ ''W′′''}}。

就相交理论而言，“有理等价”是最重要的一种。简言之，若在簇{{mvar|X}}的{{math|(''r'' + 1)}}维子簇{{mvar|Y}}上有有理函数{{math|&thinsp;''f''&thinsp;}}，则{{mvar|X}}上的两{{mvar|r}}维循环有理等价；其中{{mvar|Y}}是[[簇的函数域|函数域]]{{math|''k''(''Y'')}}的元素或等价于函数{{math|&thinsp;''f''&thinsp; : ''Y'' → '''P'''<sup>1</sup>}}，使得{{math|1=''V'' − ''W'' = &thinsp;''f''&thinsp;<sup>−1</sup>(0) − &thinsp;''f''&thinsp;<sup>−1</sup>(∞)}}（其中{{math|&thinsp;''f''&thinsp;<sup>−1</sup>(⋅)}}用乘法计算）。有理等价满足上述要求。

===交乘===
[[Image:intersection number.png|right|thumb|200px|线与抛物线的交点]]
定义循环的[[相交数|交乘]]的指导原则是一定意义上的连续型。请看下面这个简单例子：抛物线{{math|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}}和轴{{math|1=''y'' = 0}}的交点应为{{math|2 · (0, 0)}}，因为若其中一个循环移动、接近所述位置时，两个交点恰好汇聚于{{math|(0, 0)}}（图中只描绘了方程的实解，会引起误解）。

第一个令人满意的交乘定义由[[让-皮埃尔·塞尔]]给出：令周围簇（ambient variety）{{mvar|X}}光滑（或所有局部环都[[正则局部环|正则]]），接着令{{mvar|V}}、{{mvar|W}}都为（不可还原的闭）子簇，使其相交为真相交。这个构造是局部的，因此簇可用{{mvar|X}}的坐标环中的两个理想{{mvar|I}}、{{mvar|J}}表示。设{{mvar|Z}}是交集{{math|''V'' ∩ ''W''}}中的一个不可约成分，{{mvar|z}}为其[[一般点]]。则{{mvar|Z}}在交积{{math|''V'' · ''W''}}中的乘法定义为
:<math>\mu(Z; V, W) := \sum^\infty_{i=0} (-1)^i \text{length}_{\mathcal O_{X, z}} \text{Tor}_i^{\mathcal O_{X, z}} (\mathcal O_{X, z}/I, \mathcal O_{X, z}/J),</math>

函子环的[[Tor函子|挠群]]（torsion group）{{mvar|z}}中的{{mvar|X}}的局部环[[长度 (模论)|长度]]上的交替和，对应子簇。这个表达式也称作“塞尔Tor公式”。
注释：

*第一个和
*::<math> \left ( \mathcal O_{X, z}/I \right ) \otimes_{\mathcal O_{X, z}} \left (\mathcal O_{X, z}/J \right ) = \mathcal O_{Z, z}</math> 
*:的长度是对乘法的“天真”猜测；但正如塞尔指出的，这还不充分。
*和是有限的，因为正则局部环<math>\mathcal O_{X, z}</math>具有有限的Tor维度。
*若{{mvar|V}}、{{mvar|W}}的相交不是真相交，则上述交乘的结果将为0。若是真相交，则其严格为正。（这两点从定义看并不明显）
*用[[谱序列]]可以证明{{math|1=''μ''(''Z''; ''V'', ''W'') = ''μ''(''Z''; ''W'', ''V'')}}。

===周环===
{{Main|周环}}
[[周环]]是循环模有理等价所得的群，以及下面的交换交积：

:<math>V \cdot W := \sum_{i} \mu(Z_i; V, W)Z_i</math>

其中''V''、 ''W'' 横截着相交，而<math>V \cap W = \cup_i Z_i</math>是交集的不可约分解。

===自交===
给定两子簇{{mvar|V}}、{{mvar|W}}，可取其相交{{math|''V'' ∩ ''W''}}，但也可以定义单个子簇的自交，方法要微妙些。

例如，给定面{{mvar|S}}上的曲线{{mvar|C}}，其与自身的相交就是自身：{{math|1=''C'' ∩ ''C'' = ''C''}}。这虽然对，但不够好：任给曲面上两条不同的曲线（没有共同分量），它们相交于某个点集。可以数出点集包含的点数，得到“交数”。我们希望能对给定曲线左同样的处理：不同曲线的相交就像两个数相乘：{{math|''xy''}}，自交就像乘方：{{math|''x''<sup>2</sup>}}。形式上，这种类比就像是[[对称双线性形式]]（乘法）与[[二次型]]（乘方）。

其几何解法是，将曲线{{mvar|C}}与略微偏移的自身相交。在平面上这意味着将曲线{{mvar|C}}向某方向平移，但一般情况下我们谈论的是取与{{mvar|C}}线性等价的曲线{{math|''C′''}}，计算交{{math|''C'' · ''C′''}}的交点数，记作{{math|''C'' · ''C''}}。这不同于无关曲线{{mvar|C}}、{{mvar|D}}的情形，前者的实际交点取决于{{math|''C′''}}的选择，但{{math|''C′′''}}的“自交点”可解释为{{mvar|C}}上的{{mvar|k}}个[[一般点]]，且{{math|1=''k'' = ''C'' · ''C''}}。更恰当地说，{{mvar|C}}的自交点是{{mvar|C}}的一般点，乘法为{{math|''C'' · ''C''}}。

或者，也可通过对偶话来代数地“解”这个问题，并查看{{math|[''C''] ∪ [''C'']}}的类——这既给出了一个数，又提出了几何解释问题。传递到上同调类，类似于用线性系统代替曲线。

自交数可以为负，如下所示。

====例子====
考虑[[射影空间]]{{math|'''P'''<sup>2</sup>}}中的直线{{mvar|L}}：其自交数为1，因为所有直线与之相交1次。可以将{{mvar|L}}推到{{math|''L′''}}，对任意的{{math|''L′''}}的选择都有{{math|1=''L'' · ''L′'' = 1}}，于是{{math|1=''L'' · ''L'' = 1}}。就相交形式而言，我们说平面有{{math|''x''<sup>2</sup>}}类型的相交形式（只有一类直线，且都互相相交）。

注意在仿射平面上，可以将{{mvar|L}}推移到平行线上，于是交点数取决于推离的选择。有人说“仿射平面没有很好的相交理论”，而非射影簇上的相交理论要困难得多。

{{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}}（也可解释为{{math|'''P'''<sup>3</sup>}}中非奇异[[二次曲面]]{{mvar|Q}}）上的直线自交为0，因为直线可以从自身移开（是[[直纹曲面]]）。就相交形式而言，可以说{{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}}有一个{{mvar|xy}}类型——有2类基本直线，相交于1点（{{mvar|xy}}），但自交为零（没有{{math|''x''<sup>2</sup>}}或{{math|''y''<sup>2</sup>}}项）。

====拉开====
自交数的一个重要例子是[[拉开]]的特殊曲线，是[[双有理几何]]中的一个核心运算。给定[[代数曲面]]{{mvar|S}}，在一点拉开，会产生一条曲线{{mvar|C}}，其属（genus）为0，自交数为-1（并不明显）。推论：{{math|'''P'''<sup>2</sup>}}、{{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}}是[[最小模理论|最小曲面]]（不是拉开），因为它们没有任何具有负自交的曲线。事实上，[[卡斯泰尔诺沃收缩定理]]给出了相反的情况：每条{{math|(−1)}}曲线都是某个拉开的特殊曲线。

==另见==
* [[周环]]
* [[格罗滕迪克–黎曼–罗赫定理]]
* [[枚举几何]]

==引用==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Citation | first=Andreas | last=Gathman | title=Algebraic Geometry | url=http://www.mathematik.uni-kl.de/agag/mitglieder/professoren/gathmann/notes/alggeom/ | access-date=2018-05-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160521223954/http://www.mathematik.uni-kl.de/agag/mitglieder/professoren/gathmann/notes/alggeom/ | archive-date=2016-05-21 | url-status=dead }}
* {{Citation | first=Yichao | last=Tian | title=Course Notes in Intersection Theory | url=http://www.math.uni-bonn.de/people/tian/Intersection-theory.pdf}}{{Dead link|date=October 2020}}

==书目==
{{refbegin}}
* {{cite book |last1=Eisenbud |first1=David |last2=Harris|first2=Joe|title=3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry|date=2016|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01708-5}}
* {{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link = William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] | isbn=978-3-540-62046-4 |id={{ISBN|978-0-387-98549-7}} {{MathSciNet | id = 1644323}} | year=1998 | volume=2}}
* {{Citation | last1=Fulton | first1=William | last2=Serge | first2=Lang | title=Riemann-Roch Algebra | isbn=978-1-4419-3073-6}}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link = Jean-Pierre Serre | title=Algèbre locale. Multiplicités | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics |mr=0201468 | year=1965 | volume=11}}
{{refend}}

{{Authority control}}

[[Category:相交理论| ]]