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{{Expand English|Pisot–Vijayaraghavan number}}

'''皮索特-維賈亞拉加文數'''（'''Pisot–Vijayaraghavan number'''，簡稱'''皮索數'''或'''PV數'''）是指一大於1的[[實數]][[代數整數]]，且其共軛代數數的[[絕對值]]小於1。皮索數是在1912年由數學家[[阿克塞尔·图厄]]發現，後來1919年[[戈弗雷·哈羅德·哈代]]在研究[[丟番圖逼近]]時再度發現皮索數，但一直到1938年{{link-en|查理·皮索特|Charles Pisot}}的論文發表後，皮索數才廣為人所知道。數學家{{link-en|维贾亚拉加文|Tirukkannapuram Vijayaraghavan}}及{{link-en|拉斐爾·塞勒姆|Raphael Salem}}在1940年代有相關的研究，{{link-en|塞勒姆數|Salem number}}的概念就類似皮索數。

皮索數一個廣為人知的特性就是其高次方以指數方式趨近整數。皮索特證明了以下的定理：若''&alpha;''&nbsp;&gt;&nbsp;1為一實數使以下[[數列]]

: <math> \|\alpha^n\| </math>

為[[平方可求和]]（square-summable）或''ℓ''<sup>2</sup>（其中||''x''||表示一實數''x''和最接近整數之間的距離），則''&alpha;''為皮索數（也是一代數整數）。依照皮索數的這一個特性，塞勒姆證明所有皮索數形成的集合''S''為一[[闭集|閉集合]]。其最小元素為一個包括三次方根的無理數，稱為[[塑膠數]]。對於皮索數集合''S''的[[極限點]]有較多的了解，其中最小的元素就是[[黃金比例]]。

== 定義及性質 ==
一個代數度''n''的代數整數是指一個''n''次{{link-en|不可約|irreducible polynomial}}整係數[[首一多项式]]''P''(''x'')的根''&alpha;''，''P''(''x'')即為''&alpha;''的[[最小多項式]]，其他的根則為''&alpha;''的共軛數。若 ''&alpha;''&nbsp;>&nbsp;1，且''P''(''x'')的其他根皆為絕對值小於1的實數或複數，都在複數平面中|''x''|&nbsp;=&nbsp;1的單位圓盤中，則''&alpha;''就稱為皮索特-維賈亞拉加文數、皮索數或PV數。例如黃金比例''&phi;'' ≈ 1.618為一個大於一的實代數整數，其共軛數&minus;''&phi;''<sup>&minus;1</sup> ≈ &minus;0.618小於1，因此''&phi;''為一皮索數，其最小多項式為''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 1。

==參考資料==
*{{cite book | author=M.J. Bertin | coauthors=A. Decomps-Guilloux,   M. Grandet-Hugot,   M. Pathiaux-Delefosse,   J.P. Schreiber | title=Pisot and Salem Numbers | publisher=Birkhäuser | year=1992 | isbn=3764326484 }}
*{{cite book | author=Peter Borwein | title=Computational Excursions in Analysis and Number Theory | url=https://archive.org/details/computationalexc0000borw | series=CMS Books in Mathematics | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | isbn=0-387-95444-9 }} Chap. 3.
*{{cite journal | author=D.W. Boyd | title=Pisot and Salem numbers in intervals of the real line | url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1978-10_32_144/page/1244 | journal=Math. Comp. | volume=32 | year=1978 | pages=1244–1260 | doi=10.2307/2006349 }}
* {{cite book | author=J.W.S. Cassels  | title=An introduction to Diophantine approximation | series=Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics | volume=45 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1957 | pages=133–144 }}
* {{cite journal | author=G. Hardy | title=A problem of diophantine approximation | journal=Journal Ind. Math. Soc. | volume=11 | year=1919 | pages=205–243 }}
* {{cite journal | author = C. Pisot | title=
La répartition modulo 1 et nombres algébriques | journal=Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7 | year=1938 | pages=205–248 }}
* {{cite journal | author=A. Thue | title=Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann | journal=Christiania Vidensk. selsk. Skrifter | volume=2 | number=20 | year=1912 | pages=1–15 | jfm=44.0480.04 }}

==外部連結==
* [http://eom.springer.de/p/p120130.htm ''Pisot number''] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/p/p120130.htm |date=20110928121440 }}, Encyclopedia of Mathematics
* {{MathWorld|urlname=PisotNumber|title=Pisot Number|author=Terr, David and Weisstein, Eric W.}}

{{代數數}}
{{貴金屬比例}}

[[Category:代數數]]