查看“︁生成矩阵”︁的源代码

{{For|概率论中的生成矩阵|转移率矩阵}}
在[[编码理论]]中，'''生成矩阵'''（{{lang-en|'''generator matrix'''}}）是一个[[矩阵]]，该矩阵的行是{{le|线性码|linear code}}的一组[[基 (線性代數)|基]]。所有码字都是该矩阵的行的[[线性组合]]，也就是说，线性码是其生成矩阵的[[行空间与列空间|行空间]]。

==术语==

若 '''G''' 为一矩阵，它生成线性码 ''C'' 的{{le|码字|codeword}}的方式为，
:'''w''' = '''s''' '''G''',
其中 '''w''' 是线性码 ''C'' 的一个码字，而 '''s''' 是任意向量。<ref name=DrMacKayECC>{{cite book| last=MacKay | first=David, J.C.| authorlink=David J.C. MacKay| title=Information Theory, Inference, and Learning Algorithms |year=2003 | pages=9|publisher=[[劍橋大學出版社|Cambridge University Press]]| isbn=9780521642989|url=http://www.inference.phy.cam.ac.uk/itprnn/book.pdf | quote=Because the Hamming code is a linear code, it can be written compactly in terms of matrices as follows. The transmitted codeword <math>\mathbf{t}</math> is obtained from the source sequence <math>\mathbf{s}</math> by a linear operation,<blockquote><math>\mathbf{t} = \mathbf{G}^\intercal\mathbf{s}</math></blockquote> where <math>\mathbf{G}</math> is the ''generator matrix'' of the code... I have assumed that <math>\mathbf{s}</math> and <math>\mathbf{t}</math> are column vectors. If instead they are row vectors, then this equation is replaced by <blockquote><math>\mathbf{t} = \mathbf{sG}</math></blockquote> The rows of the generator matrix can be viewed as defining the basis vectors.}}</ref> 线性 <math>[n, k, d]_q</math> 码的生成矩阵的格式为 <math>k \times n</math>，其中 ''n'' 为码字的长度，''k'' 为信息比特的数量（作为向量子空间的 ''C'' 的维数），''d'' 为码的最小距离，而 ''q'' 为[[有限域]]的大小, 即字典中符号的个数（因此 ''q'' = 2 表示{{le|二元码|binary code}}，等等。）[[信息冗余|冗余比特]]的数量用 ''r = n - k'' 表示。

生成矩阵的''标准''形式为，<ref>{{harvnb|Ling|Xing|2004|loc=p. 52}}</ref>
: <math>G = \begin{bmatrix} I_k | P \end{bmatrix}</math>,
其中 <math>I_k</math> 是 ''k''×''k'' [[單位矩陣]]而 P 是 ''k''×''r'' 矩阵。当生成矩阵为标准形式时，码 ''C'' 在其前 ''k'' 个坐标位置为{{le|系统码|Systematic code}}。<ref>{{harvnb|Roman|1992|loc=p. 198}}</ref>

生成矩阵可以用来构建一个码的[[奇偶檢驗矩陣]]（反过来也可以）。如果生成矩阵 ''G'' 是标准形式  <math>G = \begin{bmatrix} I_k | P \end{bmatrix}</math>，那么 ''C'' 奇偶校验矩阵就是<ref>{{harvnb|Roman|1992|loc=p. 200}}</ref> 
: <math>H = \begin{bmatrix} -P^{\top} | I_{n-k} \end{bmatrix}</math>,
其中 <math>P^{\top}</math> 是 <math>P</math> 矩阵的[[转置矩阵|转置]]。这是由于 <math>C</math> 的奇偶检验矩阵是[[对偶码]] <math>C^{\perp}</math> 的一个生成矩阵。

==等价码==
如果一个码可以由另一个码通过下列两种变换得到的话，则码 ''C''<sub>1</sub> 与码 ''C''<sub>2</sub> 是''等价''的（记为''C''<sub>1</sub> ~ ''C''<sub>2</sub>）：
<ref>{{harvnb|Pless|1998|loc=p. 8}}</ref>

# 任意排列码的位置
# 将固定位置上的做置换

等价码的最小距离相同。

==参见==
* {{le|(7,4)汉明码|Hamming code (7,4)}}

==注释==
{{reflist|3}}

==参考文献==
* {{citation|first1=San|last1=Ling|first2=Chaoping|last2=Xing|title=Coding Theory / A First Course|publisher=Cambridge University Press|year=2004|isbn=0-521-52923-9}}
* {{citation|first=Vera|last=Pless|author-link=Vera Pless|title=Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes|edition=3rd|publisher=Wiley Interscience|year=1998|isbn=0-471-19047-0}}
* {{citation|first=Steven|last=Roman|title=Coding and Information Theory|series=[[數學研究生教材|GTM]]|volume=134|publisher=Springer-Verlag|year=1992|isbn=0-387-97812-7}}
* {{citation|first=Dominic|last=Welsh|title=Codes and Cryptography|year=1988|publisher=Oxford University Press|isbn=0-19-853287-3}}

==延伸阅读==
* {{citation | first1=F.J.|last1=MacWilliams | author1-link=Jessie MacWilliams | first2=N.J.A.|last2=Sloane|author2-link= Neil Sloane| title=The Theory of Error-Correcting Codes | publisher=North-Holland | date=1977 | isbn=0-444-85193-3 }}

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/GeneratorMatrix.html Generator Matrix at MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GeneratorMatrix.html |date=20210417092109 }}

[[Category:编码理论]]