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[[File:StrophoidConstruction.svg|right|500px]]
'''环索线'''（strophoid）是[[几何学]]中的一種[[曲線]]，由給定曲線''C''、點''A''（固定點）及點''O''（極點），依以下方式產生：令''L''是通過''O''，和曲線''C''的交點為''K''的變動直線。令''P''<sub>1</sub>和''P''<sub>2</sub>是直線''L''上的兩點，這兩點到''K''的距離和''A''到''K''的距離相同（因此''A''、''P''<sub>1</sub>、''P''<sub>2</sub>在圓心為''O''為圓上）。P<sub>1</sub>、P<sub>2</sub>的[[轨迹]]即為曲線''C''的环索线，相對於極點''O''及固定點''A''。
其中''AP''<sub>1</sub>和''AP''<sub>2</sub>會呈直角。

若''C''是直線，''A''在''C''上，而''O''不在''C''上，此曲線稱為'''斜環索線'''（oblique strophoid）。若''OA''和''C''垂直，此曲線則稱為'''正環索線'''（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或'''葉狀線'''（foliate）。

==方程式==
===極坐標===
令曲線''C''的極坐標方程為<math>r = f(\theta)</math>，其中原點為''O''，令''A''的直角坐標為(''a'', ''b'')，若<math>K = (r \cos\theta,\ r \sin\theta)</math>是曲線上的一點，''K''到''A''的距離為
:<math>d = \sqrt{(r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta - b)^2} = \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}</math>.
在''OK''線上的點，其極座標角度為<math>\theta</math>，線上和點''K''距離為''d''的點，和原點的距離為<math>f(\theta) \pm d</math>。因此，環索線的方程如下
:<math>r = f(\theta) \pm \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}</math>

===另一種極座標公式===
若''C''是極點為''O''和''A''的{{link-en|麥克勞林分角線|sectrix of Maclaurin}}時，可以用以下的極座標公式。

令''O''為原點，''A''為點(''a'', 0)，令''K''為曲線上一點，線''OK''和X軸的夾角為<math>\theta</math>，而 <math>\vartheta</math>是線''AK''和和X軸的夾角。假設<math>\vartheta</math>可以表示為<math>\theta</math>的函數，假設<math>\vartheta = l(\theta)</math>。令<math>\psi</math>是''K''的角度，則<math>\psi = \vartheta - \theta</math>。可以用正弦定律，將''r''用''l''來表示。因為
:<math>{r \over \sin \vartheta} = {a \over \sin \psi},\ r = a \frac {\sin \vartheta}{\sin \psi} = a \frac {\sin l(\theta)}{\sin (l(\theta) - \theta)}</math>。

令''P''<sub>1</sub>和''P''<sub>2</sub>是''OK''線上和''K''點的距離等於''AK''的點，調整編號使<math>\psi = \angle P_1KA</math>，且<math>\pi-\psi = \angle AKP_2</math>。<math>\triangle P_1KA</math>是頂角為<math>\psi</math>的等腰三角形，剩下的兩角<math>\angle AP_1K</math>和<math>\angle KAP_1</math>角度為<math>(\pi-\psi)/2</math>。''AP''<sub>1</sub>線和x軸角度為 
:<math>l_1(\theta) = \vartheta + \angle KAP_1 = \vartheta + (\pi-\psi)/2 = \vartheta + (\pi - \vartheta + \theta)/2 = (\vartheta+\theta+\pi)/2</math>。

同理可得''AP''<sub>2</sub>和x軸的角度為 
:<math>l_2(\theta) = (\vartheta+\theta)/2</math>.

環索線的極座標式可以表示以下有''l''<sub>1</sub>及''l''<sub>2</sub>的式子：
:<math>r_1=a \frac {\sin l_1(\theta)}{\sin (l_1(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2 - \theta)} = a \frac{\cos ((l(\theta)+\theta)/2)}{\cos ((l(\theta)-\theta)/2)}</math>

:<math>r_2=a \frac {\sin l_2(\theta)}{\sin (l_2(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta)/2 - \theta)} = a \frac{\sin((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin((l(\theta)-\theta)/2)}</math>

若''l''是<math>q \theta + \theta_0</math>，曲線''C''是極點為''O''和''A''的麥克勞林分角線，此時，''l''<sub>1</sub>和''l''<sub>2</sub>會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。

==特例==
===斜環索線===
令''C''是通過''A''點的直線。依照上式的表示法，<math>l(\theta) = \alpha</math>，其中<math>\alpha</math>為常數，則<math>l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2</math>且<math>l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2</math>。相對原點''O''點環索線的極座標（斜環索線）方程為
:<math>r = a \frac{\cos ((\alpha+\theta)/2)}{\cos ((\alpha-\theta)/2)}</math>
以及
:<math>r = a \frac{\sin ((\alpha+\theta)/2)}{\sin ((\alpha-\theta)/2)}</math>.
可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到''A''點<!-- (again, see [[Sectrix of Maclaurin]])-->，用−''a''代替''a''，可得
:<math>r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}</math>,
旋轉角度<math>\alpha</math>後可得
:<math>r=a\frac{\sin(2\theta+\alpha)}{\sin(\theta)}</math>.

在直角坐標系，調整常數的參數，可得
:<math>y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy</math>.
是三次曲線，在極座標下是有理函數，其[[叉點]]在(0, 0)，漸近線為直線''y''=''b''。

===正環索線===
[[File:Strophoid-chart.png|right|500px|thumb|正環索線]]
將<math>\alpha = \pi/2</math>代入下式
:<math>r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}</math>
可得
:<math>r=a\frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} = a(2\cos\theta-\sec\theta)</math>.
此即為正環索線，對應直線''C''為''y''軸，''A''點為原點，''O''點為點(''a'',0)的情形。

[[笛卡尔坐标系]]方程為 
:<math>y^2 = x^2(a-x)/(a+x)</math>.

此曲線為[[笛卡儿叶形线]]<ref>{{cite EB1911 |wstitle=Logocyclic Curve |display=Logocyclic Curve, Strophoid or Foliate|volume=16 |page=919}}</ref>，直線''x'' = &minus;''a''是二個分支的[[渐近线]]。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的
:<math>x\pm iy = -a</math>。

===圓===
令圓''C''是通過''O''和''A''的圓，其中''O''為原點，''A''的座標為(''a'', 0)。依以上的表示法，<math>l(\theta) = \alpha+\theta</math>，其中<math>\alpha</math>是常數。則<math>l_1(\theta) = \theta + (\alpha + \pi)/2</math>以及<math>l_2(\theta) = \theta + \alpha/2</math>，所得相對於圓''O''環索線（oblique strophoid）的極座標方程為
:<math>r = a \frac{\cos (\theta+\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)}</math>
及
:<math>r = a \frac{\sin (\theta+\alpha/2)}{\sin (\alpha/2)}</math>.
這是二個通過''O''和''A''，在C點形成角度<math>\pi/4</math>的圓。
==相關條目==
*[[蚌线]]
*[[蔓叶线]]

==參考資料==
{{Reflist}}
* {{cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/51 51–53,95,100–104,175] | url-access=registration | url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/51 }}
* {{cite book | author=E. H. Lockwood | title=A Book of Curves | url=https://archive.org/details/bookcurves00lock | publisher=Cambridge University Press | year=1961 | pages=[https://archive.org/details/bookcurves00lock/page/134 134]–137 | chapter = Strophoids |location = Cambridge, England | isbn=0-521-05585-7}}
* {{cite book | author=R. C. Yates| title=A Handbook on Curves and Their Properties | publisher=J. W. Edwards | year=1952| pages=217–220 | chapter = Strophoids |location = Ann Arbor, MI}}
* {{MathWorld|title=Strophoid|urlname=Strophoid}}
* {{MathWorld|title=Right Strophoid|urlname=RightStrophoid}}
* {{springer| title=Strophoid | id=S/s090630 | last=Sokolov | first=D.D.}}
* {{MacTutor|class=Curves|id=Right|title=Right Strophoid}}

==外部連結==
{{commonscat-inline|Strophoid}}
{{Differential transforms of plane curves}}
[[Category:曲線]]