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{{noteTA
|1=里斯
}}
在[[抽象代數|抽象代數學]]，[[交換代數]]和[[代數幾何|代數幾何學]]中，一個[[交换环|交換環]]<math>A</math>的'''譜'''是指其[[素理想]]全體形成的集合，記作<math>\mathrm{Spec}(A)</math>。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲[[賦環空間|局部賦環空間]]。

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲'''仿射概形'''。

== 扎里斯基拓撲 ==
{{main|扎里斯基拓撲}}
對於交換環 <math>A</math> 裡的任一理想 <math>\mathfrak{a}</math>，置 <math>V(\mathfrak{a}) := \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{p} \supset \mathfrak{a} \}</math>。容易證明下述性質：

* <math>V(\mathfrak{ab}) = V(\mathfrak{a}) \cup V(\mathfrak{b})</math>
* <math>V(\sum_i \mathfrak{a}_i) = \bigcap_i V(\mathfrak{a}_i)</math>
* <math>V(\mathfrak{a}) \subset V(\mathfrak{b})</math>若且唯若<math>\sqrt{\mathfrak{a}} \supset \sqrt{\mathfrak{b}}</math>

因此我們可以在<math>Spec(A)</math>上定義一個[[拓扑空间|拓撲結構]]，使得其閉子集恰為形如<math>V(\mathfrak{a})</math>的子集，稱之'''扎里斯基拓撲'''。

一般而言，扎里斯基拓撲並不滿足[[豪斯多夫空間|豪斯多夫性質]]。

== 結構層 ==
考慮扎里斯基拓撲下的下述[[層 (數學)|預層]]：

<math> \mathcal{O}_{0,A} : U \mapsto \varprojlim_{\mathfrak{p} \in U} A_{\mathfrak{p}} </math>

令<math>\mathcal{O}_A</math>為其[[層 (數學)|層化]]，稱作<math>\mathrm{Spec}(A)</math>的'''結構層'''。顯然有<math>\mathcal{O}_{A,\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}</math>，故<math>(\mathrm{Spec}(A),\mathcal{O})</math>構成一個局部賦環空間。

一個元素<math>a \in A</math>給出<math>\mathcal{O}_A</math>的截面，事實上可以證明<math>\Gamma(\mathrm{Spec}(A), \mathcal{O}_A) = A</math>。

==交換環譜間的態射==
設<math>A, B</math>為交換環，<math>\phi: A \rightarrow B</math>為一[[同態]]，則可定義一個映射<math>f(\mathfrak{p}) = \phi^{-1}(\mathfrak{p})</math>，這是從<math>\mathrm{Spec}(B) </math>到<math>\mathrm{Spec}(A)</math>的連續映射，在結構層上則以<math>a \mapsto \phi(b)</math>定義<math>f^\sharp: \mathcal{O}_A \rightarrow f_* \mathcal{O}_B</math>，那麼<math>(f,f^\sharp)</math>給出局部賦環空間的態射。

反之，任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

==古典觀點==
令<math>k</math>為代數封閉域，給定<math>f_i \in k[X_1,\ldots,X_n]</math>（i=1,2,...），則方程組<math>f_i(x_1, \ldots, x_n) = 0</math>定義一個[[代數簇]]<math>X \subset \mathbb{A}^n_k</math>。

設<math>\mathfrak{a} := (f_1, \ldots, f_n) \subset k[X_1, \ldots, X_n]</math>，<math>A := \mathrm{k[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak{a}}</math>。根據[[希爾伯特零點定理]]，<math>X</math>的點一一對應到<math>A</math>的極大理想。

一般而言，<math>\mathrm{Spec}(A)</math>內的元素一一對應到<math>X</math>內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一，在於可以藉此在概形上運用[[安德烈·韋伊]]的一般點（generic point）理論；此外，環同態不一定將極大理想拉回到極大理想，除非該環是 Jacobson 環。 

<math>\mathrm{Spec}(A)</math>的拓撲結構僅涉及<math>\sqrt{\mathfrak{a}}</math>。<math>A</math>裡的冪零元素看似無幾何意義，但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

==參見==
*《[[代數幾何基礎]]》

[[Category:環論|H]]
[[Category:交換代數|H]]
[[Category:代數幾何|H]]