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在流體力學中，'''瑞利問題'''（{{lang|en|Rayleigh problem}}）或'''斯托克斯第一問題'''（{{lang|en|Stokes first problem}}），得名於[[第三代瑞利男爵約翰·斯特拉特|瑞利男爵]]與[[乔治·斯托克斯|喬治·斯托克斯]]，是一個由無限長平板從靜止開始運動所產生的流體流動問題。這被認為是具有[[纳维-斯托克斯方程|納維-斯托克斯方程式]]精確解的最簡單的非穩定問題之一。{{tsl|en|Keith Stewartson|基思·斯图尔特森}}研究了由半無限平板運動所產生的現象 。<ref>Stewartson, K. T. (1951). On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 4(2), 182-198.</ref>

==流體描述<ref>Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.</ref><ref>Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.</ref>==
考慮一個對初始靜止的無限大流域來說位於<math>y=0</math>的無限長平板突然以定速度<math>U</math>往<math>x</math>方向移動，不可壓縮[[纳维-斯托克斯方程|納維-斯托克斯方程式]]可簡化為

:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>

其中<math>\nu</math>是[[黏度]]。板與流體接觸面的初始條件與{{tsl|en|No-slip condition|不滑移條件}}為

:<math>u(y,0) = 0, \quad u(0,t>0) = U, \quad u(\infty,t>0) = 0,</math>

最後一個條件是由於無限遠處的流體無法被<math>y=0</math>的運動所影響。流體的流動只由平板移動所導致，此處並沒有外加的壓力梯度。

===自相似解<ref>Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990.</ref>===

該問題類似於一維的熱傳導問題，因此這裡可以引入相似的變量

:<math>\eta = \frac{y}{\sqrt{\nu t}}, \quad f(\eta) = \frac{u}{U}</math>

將它們代入上述的偏微分方程，可以簡化為常微分方程

:<math>f'' + \frac{1}{2}\eta f' =0</math>

並具有邊界條件

:<math>f(0)= 1, \quad f(\infty) =0</math>

上述問題的解可被寫成含[[误差函数|互補誤差函數]]的形式

:<math>u = U\mathrm{erfc} \left(\frac{y}{\sqrt{4\nu t}}\right) </math>

單位面積施加在平板上的力為

:<math>F = \mu \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{y=0} = -\rho \sqrt{\frac{\nu U^2}{\pi t}} </math>

==任意平板運動==

除了用上述的階躍邊界條件，平板的速度也可以是時間的任意函數<math>U=f(t)</math>。方程式的解可以寫為<ref>Dryden, Hugh L., Francis D. Murnaghan, and Harry Bateman. Hydrodynamics. New York: Dover publications, 1956.</ref>

:<math>u(y,t) = \int_0^t \frac{f(\tau)}{2\sqrt{\pi\nu}}\frac{y}{(t-\tau)^{3/2}}e^{- \frac{y^2}{4\nu(t-\tau)}}d\tau.</math>

==圓柱體的瑞利問題==

===旋轉的圓柱===

考慮一個半徑為<math>a</math>的無限長圓柱體於時間<math>t=0</math>時開始以角速度<math>\Omega</math>旋轉，則<math>\theta</math>方向的速度由下式給出

:<math>v_\theta = \frac{a\Omega}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{K_1(r\sqrt{s/\nu})}{K_1(a\sqrt{s/\nu})}e^{st}\frac{ds}{s}</math>

其中<math>K_1</math>是第二類修正貝索函數。當<math>t\rightarrow\infty</math>，方程式的解趨近於剛體渦旋。單位面積施加於圓柱體的力為

<math>F = \mu \left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r}-\frac{v_\theta}{r}\right)_{r=a} = \frac{\rho a^2\Omega}{t}e^{-\frac{a^2}{2\nu t}}I_0\left(\frac{a^2}{2\nu t}\right)-2\mu\Omega </math>

其中<math>I_0</math>第一類修正貝索函數。

===滑動的圓柱===

精確解在圓柱體沿軸向以等速度<math>U</math>運動也存在。設圓柱體的軸向指向 <math>x</math> 方向，則方程式的解為

:<math>u = \frac{U}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{K_0(r\sqrt{s/\nu})}{K_0(a\sqrt{s/\nu})}e^{st}\frac{ds}{s}.</math>

==參看==
{{portal box|物理學}}
*{{tsl|en|Stokes problem|斯托克斯問題}}

==參考文獻==
<references />

[[Category:流体动力学]]