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[[数值分析]]中，'''理查德森外推法'''(Richardson extrapolation)用以改善[[级数]]序列收敛效率，它是在20世纪前期由英国数学家，物理学家，气象学家[[Lewis Fry Richardson]]提出的。在数值分析领域，Richardson外推法有很多实际应用，如[[Romberg's method]]，是在[[梯形公式]]的基础上应用Richardson外推法导出的；还有用于求解[[常微分方程]]的[[Bulirsch–Stoer算法]]。

== 推导 ==
假定某一函数<math>D</math>可数值近似（离散化）为<math>D\left( h \right)</math>，其中<math>h</math>为步长，
:<math> D = D \left( h \right) + a h^p + b h^q + \ldots </math> （1）
其中<math>p</math>为首项阶数，<math>q</math>下一项阶数, 满足<math>q > p</math>。
  
考虑该函数又可以使用同样的数值近似方法，以步长为<math>h_2</math>做离散近似
:<math> D = D \left( h_2 \right) + a h_2^p + b h^q_2 + \ldots </math> （2）

如果希望消掉式(1)中的<math>h^p</math>项，我们可以对以上两式相减，即(1)<math>- r</math>(2)，其中<math>r = \left( \frac{h}{h_2} \right)^p</math>：
:<math>\left( 1 - r \right) D = D \left( h \right) + a h^p + b h^q - r D \left(h_2 \right) - r a h^p_2 - r b h^q_2 + \ldots = D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right) + a \underbrace{\left( h^p - r h_2^p \right)}_0 + b \left( h^q - r h_2^q \right) </math>

:<math>\left( 1 - r \right) D = D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right) + b \left( h^q - r h_2^q \right)</math>
:<math>D = \frac{D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right)}{1 - r} + \frac{b\left( h^q - r h_2^q \right)}{1 - r} = \frac{D \left( h \right) - r D\left( h_2 \right)}{1 - r} + \frac{b \left( 1 - r \frac{h_2^q}{h^q}\right) h^q}{1 - r}</math>
:<math>D = \frac{D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right)}{1 - r} + \frac{b\left( 1 - \left( \frac{h}{h_2} \right)^p  \left( \frac{h_2}{h} \right)^q
\right) h^q}{1 - r} = \underbrace{\frac{D \left( h \right) - r D \left(h_2 \right)}{1 - r}}_{D^{\ast} \left( h \right)} + \underbrace{\frac{b\left( 1 - \left( \frac{h_2}{h} \right)^{q - p} \right)}{1 - r}}_{b^{\ast}} h^q </math>
或简记作：
:<math>\therefore D = D^{\ast} \left( h \right) + b^{\ast} h^q </math>
<math>D^{\ast}(h)</math>代替了<math>D(h)</math>，为<math>D</math>的新的数值近似。新近似相比最初形式具有更高阶的误差项，数值精度由此提高，此方法即为'''理查德森外推法'''。

== 示例 ==
应用理查德森方法，改善用于近似微分的[[中心差分公式]]
:<math> f' \left( x_n \right) = \underset{D \left( h \right)}{\underbrace{\frac{f\left( x_n + h \right) - f \left( x_n - h \right)}{2 h}}} -\underset{a}{\underbrace{\frac{f''' \left( x_n \right)}{6}}} h^2 -\underset{b}{\underbrace{\frac{f^{\left( 5 \right)} \left( x_n\right)}{120}}} h^4 </math>
则由式(1)可知<math>p = 2, q = 4</math>, <math>h_2 = 2 h, r = \left( \frac{1}{2} \right)^p = \frac{1}{4} </math>
代入公式：
:<math>D^{\ast} = \frac{D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right)}{1 - r} = \frac{\frac{f \left( x_n + h \right) - f \left( x_n - h \right)}{2 h} - \frac{1}{4} \frac{f \left( x_n + 2 h \right) - f \left( x_n - 2 h \right)}{4 h}}{1 - \frac{1}{4}} </math>

:<math>D^{\ast} = \frac{8 \left[ f \left( x_n + h \right) - f \left( x_n - h\right) \right] - f \left( x_n + 2 h \right) + f \left( x_n - 2 h\right)}{12 h} </math>
由此，中心差分公式精度由2阶变为4阶。

== 参考文献 ==
*''Extrapolation Methods. Theory and Practice'' by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

== 外部链接 ==
*[https://web.archive.org/web/20070531044601/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RichardsonExtrapMod.html Module for Richardson's Extrapolation], fullerton.edu
*[http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-304Spring-2006/D69D4111-2100-443D-A75D-5D5BE7B4FAA2/0/xtrpltn_liu_xpnd.pdf Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications] {{Wayback|url=http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-304Spring-2006/D69D4111-2100-443D-A75D-5D5BE7B4FAA2/0/xtrpltn_liu_xpnd.pdf |date=20110629121529 }}, mit.edu
*[http://www.math.ubc.ca/~feldman/m256/richard.pdf Richardson-Extrapolation] {{Wayback|url=http://www.math.ubc.ca/~feldman/m256/richard.pdf |date=20160303173827 }}
*[http://www.math.ubc.ca/~israel/m215/rich/rich.html  Richardson extrapolation on a website of Robert Israel (University of British Columbia) ] {{Wayback|url=http://www.math.ubc.ca/~israel/m215/rich/rich.html |date=20210422021048 }}

[[Category:数值分析]]