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在[[數學]]中的[[環論]]領域，一個[[理想 (環論)|理想]]的'''根'''是一個較大的理想，它約略是該理想的某種閉包。'''根理想'''是等於其自身的根的理想。

理想的根又可分為'''雅各布森根'''與'''冪零根'''，前者較後者為大。

==交換環的冪零根==
設 <math>R</math> 為[[交換環]]，<math>I \subset R</math> 為其理想。該理想的冪零根 <math>\mathrm{Rad}(I)</math>（或 <math>\sqrt{I}</math>）定義為
:<math>\hbox{Rad}(I)=\{r\in R|\exists n, \;r^n\in I\ \}</math>。

由[[二項式定理]]可知 <math>\mathrm{Rad}(I)</math> 也是一個理想，並包含 <math>I</math>。當取 <math>I=\{0\}</math> 時，相應的根即是冪零元素的集合，也稱作環的冪零根，有時記為 <math>\mathrm{nil}(R)</math>。記 <math>\pi: R \to R/I</math> 為商同態，則
: <math>\hbox{Rad}(I) = \pi^{-1}(\hbox{nil}(R/I))</math>

利用[[局部化]]技巧，也可證明
: <math>\hbox{Rad}(I) = \bigcap \{P \in \hbox{Spec}(R) : P \supset I \}</math>。

為具體起見，考慮較簡單的例子 <math>R=\mathbb{Z}</math>。每個非零理想都可寫成 <math>I = (\prod_i p_i^{e_i})</math>，此處 <math>p_1, p_2, \ldots</math> 取遍所有[[素數]]，<math>e_i</math> 則是非負整數。易證
: <math>\sqrt{I} = (\prod_{e_i > 0} p_i)</math>。

==雅各布森根==
設 <math>R</math> 為環（未必交換），其雅各布森根 <math>J(R)</math> 定義為所有單右 <math>R</math>-模的[[零化子]]之交。對於雙邊理想 <math>I \subset R</math>，設 <math>\pi: R \to R/I</math> 為商同態，定義 <math>J(I) := \pi^{-1}(J(R/I))</math>。

雅各布森根還有諸種等價的定義。當 <math>R</math> 交換時，有下述簡單的性質：
: <math>\hbox{Rad}(I) = \bigcap \{P \in \hbox{Spec-max}(R) : P \supset I \}</math>。
換言之，此即所有包含 <math>I</math> 的[[極大理想]]之交。由此立見 <math>J(I) \supset \hbox{Rad}(I)</math>。

==文獻==
* David Eisenbud, ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry'', Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.



[[Category:理想]]