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{{noteTA
|G1=Physics
}}
'''球谐函数'''是[[拉普拉斯方程]]的[[球坐标系]]形式解的角度部分。在[[古典場論]]、[[量子力学]]等领域广泛应用。

==函数的推导==
===本微分方程的推导===
球坐标下的拉普拉斯方程式:

:<math> \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0\,\!</math> 。

[[File:Rotating spherical harmonics.gif|thumb|350px|right|實值的球諧函數 Y<sub>lm</sub>，l = 0 到 4 （由上至下），m=0 到 4（由左至右）。負數階球諧函數 Y<sub>l,-m</sub> 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。]]
利用[[分离变量法]]，设定 <math>f(r,\ \theta,\ \varphi)=R(r)Y(\theta,\ \varphi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)</math> 。其中<math>Y(\theta,\ \varphi)</math>代表角度部分的解，也就是'''球谐函数'''。

代入拉普拉斯方程，得到：
:<math>{\Theta \Phi \over r^2}{d \over dr}\left(r^2 {d R \over dr}\right) 
  + {R\Phi \over r^2\sin\theta}{d \over d \theta}\left(\sin\theta {d \Theta \over d \theta}\right) 
  + {R\Theta \over r^2\sin^2\theta}{d^2 \Phi \over d \varphi^2} = 0\,\!</math>

分离变量后得：
:<math>\begin{cases}
\dfrac{1}{R}\dfrac{d}{dr}\left(r^2\dfrac{dR}{dr}\right) = \lambda \\
\dfrac{1}{\Phi} \dfrac{d^2 \Phi}{d\varphi^2} = -m^2 \\
\lambda + \dfrac{1}{\Theta\sin \theta} \dfrac{d}{d\theta} \left ( \sin\theta \dfrac{d\Theta}{d\theta} \right ) -\dfrac{m^2}{\sin ^2\theta} = 0
\end{cases}</math> ，整理得<math>\begin{cases}
r^2R''+2rR'-\lambda R = 0\\
\Phi''+m^2\Phi = 0 \\
\sin\theta \dfrac{d}{d\theta} (\sin\theta \Theta') +(\lambda\sin ^2\theta-m^2)\Theta = 0
\end{cases}</math>

===本征方程的求解===

这里，<math>\Phi</math>是一个以<math>2\pi</math>为周期的函数，即满足周期性边界条件<math>\Phi(\varphi)=\Phi(\varphi+2\pi)</math>，因此<math>m</math>必须为整数。而且可以解出：
:<math>\Phi = e^{im\phi}</math>，<math>m\in\mathbb{Z}</math>

而对于<math>\Theta</math>的方程，进行变量替换 <math>t=\cos\theta</math>，<math>dt=-\sin\theta d\theta</math>，<math>|t|\leqslant 1</math>，得到关于<math>t</math>的伴随勒让德方程。方程的解应满足在<math>[-1,1]</math>区间上取有限值，此时必须有<math>\lambda=l(l+1)</math>，其中<math>l</math>为自然数，且<math>l\geqslant |m|</math>。对应方程的解为<math>P_\ell^m(t)</math>。即可以解出：
:<math>\Theta = P_\ell^m(\cos\theta)</math>，<math>l\in\mathbb{N},l\geqslant |m|</math>

故球谐函数可以表达为：
:<math> Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \Phi(\varphi)\Theta(\theta) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} )\,\!</math> ，<math>l\in\mathbb{N},m=0,\pm1,\pm2,\ldots\pm l</math>；

其中''N'' 是归一化因子。

經過歸一化後，球谐函数表達為：
:<math> Y_\ell^m(\theta,\ \varphi) =(-1)^{m} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - |m|)!\over (\ell+|m|)!}}  \, P_\ell^m (\cos{\theta}) \, e^{im\varphi}\,\!</math> ；

这里的 <math>Y_\ell^m\,\!</math> 称为 <math>\ell\,\!</math> 和 <math>m\,\!</math> 的球谐函数。以上推导过程中，<math>i\,\!</math> 是[[虛數單位]]， <math>P_\ell^m\,\!</math> 是[[伴随勒让德多项式]] 。

其中<math>P_\ell^m(x)\,\!</math> 用方程式定義為：
:<math>P_\ell^m(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_\ell(x)\,</math> ；

而 <math>P_\ell(x)\,\!</math> 是 <math>l</math> 階[[勒讓德多項式]]，可用[[羅德里格公式]]表示為：
:<math>P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell\over dx^\ell }(x^2 - 1)^l</math> 。

==前几阶球谐函数==
{{main|球谐函数表}}

{| class="wikitable" style="text-align:left; white-space:nowrap; background-color:#ffffff;"
|+ 
! <math>l</math> || <math>m</math> || <math>\Phi(\varphi)</math> || <math>\Theta(\theta)</math> ||  || 極坐標中的表達式 || 直角坐標中的表達式 || 量子力學中的記号
|-
| 0 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> ||  || <math>\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math> || <math>\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math> || <math>\mbox{s} \,</math>
|-
| 1 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\sqrt{\frac{3}{2}}\cos\theta</math> ||  || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\cos\theta</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\frac{z}{r}</math> || <math>\mbox{p}_{z} \,</math>
|-
| 1 || +1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\sin\theta\cos\varphi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\frac{x}{r}</math> || <math>\mbox{p}_{x} \,</math>
|-
| 1 || -1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\sin\theta\sin\varphi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\frac{y}{r}</math> || <math>\mbox{p}_{y} \,</math>
|-
| 2 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{2}}(3\cos^2\theta-1)</math> ||  || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}(3\cos^2\theta-1)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\frac{2z^2-x^2-y^2}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{3z^2-r^2}</math>
|-
| 2 || +1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{2}\sin\theta\cos\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin\theta\cos\theta\cos\varphi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{zx}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{zx} \,</math>
|-
| 2 || -1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{2}\sin\theta\cos\theta</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin\theta\cos\theta\sin\varphi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{yz}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{yz} \,</math>
|-
| 2 || +2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(2i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{4}\sin^2\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin^2\theta\cos2\varphi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{x^2-y^2}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{x^2-y^2}</math>
|-
| 2 || -2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-2i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{4}\sin^2\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin^2\theta\sin2\varphi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{xy}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{xy} \,</math>
|-
| 3 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{2}}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)</math> ||  || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi}}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi}}\frac{z(2z^2-3x^2-3y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{z(5z^2-3r^2)}</math>
|-
| 3 || +1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i\varphi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta\cos\varphi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\frac{x(5z^2-r^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{x(5z^2-r^2)}</math>
|-
| 3 || -1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-i\varphi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta\sin\varphi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\frac{y(5z^2-r^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{y(5z^2-r^2)}</math>
|-
| 3 || +2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(2i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{105}}{4}\cos\theta\sin^2\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\cos\theta\sin^2\theta\cos2\varphi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\frac{z(x^2-y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{z(x^2-y^2)}</math>
|-
| 3 || -2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-2i\varphi)</math> || <math>\frac{\sqrt{105}}{4}\cos\theta\sin^2\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\cos\theta\sin^2\theta\sin2\varphi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\frac{xyz}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{xyz} \,</math>
|-
| 3 || +3 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(3i\varphi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2}}\sin^3\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\sin^3\theta\cos3\varphi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\frac{x(x^2-3y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{x(x^2-3y^2)}</math>
|-
| 3 || -3 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-3i\varphi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2}}\sin^3\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\sin^3\theta\sin3\varphi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\frac{y(3x^2-y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{y(3x^2-y^2)}</math>
|}

<math>l=0</math>
:<math>Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}</math>

<math>l=1</math>
:<math>Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi}</math>
:<math>Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\, \cos\theta</math>
:<math>Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\, \sin\theta\, e^{i\varphi}</math>

<math>l=2</math>
:<math>Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1)</math>
:<math>Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi}</math>

== 参见 ==
* [[勒让德多项式]]
* [[伴随勒让德多项式]]
* [[施图姆-刘维尔理论]]
* [[柱谐函数]]
* [[向量球諧函數]]

[[Category:原子物理学|Q]]
[[Category:量子力学|Q]]
[[Category:数学物理|Q]]
[[Category:特殊函數|Q]]