查看“︁珠算”︁的源代码

{{Infobox intangible heritage
|Name         = 中国珠算——<br>运用算盘进行数学计算的知识与实践
|Image        = [[File:China Abacuses Museum 02 2013-01.JPG|280px]]
|Caption      = 
|Country      = 中国
|ID           = 853
|Region       = APA
|Year         = 2013
}}
'''珠算'''，指的是用算盘進行計算，一般特指用[[中式算盤]]进行計算。珠算领域對[[四則運算]]統整出了一套系統的計算規則，統稱''珠算法則''。其源於中國[[籌算]]，在[[東漢]][[徐岳]]所著《[[數術記遺]]》記載上古十四種算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013年，[[聯合國教科文組織]]將其列入[[人類非物質文化遺產代表作名錄]]。<ref>{{Cite web |url=http://www.ihchina.cn/Article/Index/detail?id=16489 |title=中国珠算入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”座谈会在京举办 |access-date=2020-03-24 |archive-date=2020-12-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201222061936/http://www.ihchina.cn/Article/Index/detail?id=16489 |dead-url=no }}</ref>

== 術語 ==
珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之：
* 算盤術語
** 框
** 樑
** 上珠
** 下珠
* 運珠相關
* 算術術語
** 加算：即[[加法]]計算。
*** 被加數： a
*** 加數： b
*** 和： <math>a + b = c</math> 的 c
** 減算：即[[減法]]計算
*** 被減數： a
*** 減數： b
*** 差： <math>a - b = c</math> 的 c
** 乘算：即[[乘法]]計算
*** 實、被乘數： a
*** 法、乘數： b
*** 積： <math>a \times b = c</math> 的 c
** 除算：即[[除法]]計算
*** 實、被除數： a
*** 法、除數： b
*** 商： <math>a \div b = c</math> 的 c
*** 餘： <math>a \div b = c..d</math> 的 d

== 運珠 ==
有兩種方式<ref>{{cite web |author1=廖正輝 |title=單手運珠與雙手撥珠的差異 |url=http://www.abacus.org.tw/scholars/111 |website=珠算全球資訊網 |access-date=2021-10-21 |archive-date=2021-10-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211021171333/http://www.abacus.org.tw/scholars/111 |dead-url=no }}</ref>：
# '''雙手撥珠'''，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
# '''單手運珠'''，以台灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。

; 二五珠算盤
{{cleanup-jargon|time=2017-08-03}}
一般只用[[拇指]]、[[食指]]和[[中指]]拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：
* 拇指拨下珠向上靠梁。
* 食指拨下珠向下离梁。
* 中指拨上珠靠梁和离梁。

; 一四珠算盤
（或一五珠算盤）：兩个手指的基本分工是：
* 食指拨上珠向下靠梁。
* 食指拨上珠向上离梁。
* 拇指拨下珠向上靠梁。
* 食指拨下珠向下离梁。

; 一五珠算盤
兩个手指的基本分工是：
* 食指拨上珠向下靠梁。
* 食指拨上珠向上离梁。應該是拇指
* 拇指拨下珠向上靠梁。
* 食指拨下珠向下离梁。


== 算法 ==
=== 布数 ===
布数是指表現數字的算珠擺放方式。
{| style="text-align:center"
|{{一四式算盤|0}}
|{{一四式算盤|1}}
|{{一四式算盤|2}}
|{{一四式算盤|3}}
|{{一四式算盤|4}}
|{{一四式算盤|5}}
|{{一四式算盤|6}}
|{{一四式算盤|7}}
|{{一四式算盤|8}}
|{{一四式算盤|9}}
|-
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|}

=== 加算 ===
方法為'''''同位值相加，逢十進一'''''，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

（例）'''1937+284'''
{|
|+
|- style="text-align:center"
| 置數<br><br> || || 百位檔相加<br><math>+200</math> || || 十位檔相加<br><math>+80</math> || || 個位檔相加<br><math>+4</math>
|-
|{{一四式算盤|1937}}
| →
|{{一四式算盤|2137}}
| →
|{{一四式算盤|2217}}
| →
|{{一四式算盤|2221}}
|- style="text-align:center"
| <math>1937</math> || || <math>2137</math> || || <math>2217</math> || || '''<math>2221</math>'''
|}

; 口訣
可輔助學習，熟練後亦可不用。

{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=1 style="border-collapse: collapse;"
|- align="center" bgcolor="#CCFFCC"
|rowspan="2"|'''加数'''||colspan="2"|'''不进位加'''||colspan="2"|'''进位加'''
|- align="center" bgcolor="#CCFFCC"
|直加||满五加||进十加||破五进十加
|-
|一||一上一||一下五去四||一去九进一||　
|-
|二||二上二||二下五去三||二去八进一||　
|-
|三||三上三||三下五去二||三去七进一||　
|-
|四||四上四||四下五去一||四去六进一||　
|-
|五||五上五|| 　||五去五进一||　
|-
|六||六上六|| 　||六去四进一||六上一去五进一
|-
|七||七上七|| 　||七去三进一||七上二去五进一
|-
|八||八上八|| 　||八去二进一||八上三去五进一
|-
|九||九上九|| 　||九去一进一||九上四去五进一
|}

以 +3 為例:
*「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
*「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
*「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。
其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

=== 減算 ===
方法為'''''同位值相減，不夠借位'''''，計算時由高位檔向低位檔依次相減。

（例）'''2756-957'''
{|
|+
|- style="text-align:center"
| 置數<br><br> || || 百位檔相減<br><math>-900</math> || || 十位檔相減<br><math>-50</math> || || 個位檔相減<br><math>-7</math>
|-
|{{一四式算盤|2756}}
| →
|{{一四式算盤|1856}}
| →
|{{一四式算盤|1806}}
| →
|{{一四式算盤|1799}}
|- style="text-align:center"
| <math>2756</math> || || <math>1856</math> || || <math>1806</math> || || '''<math>1799</math>'''
|}

; 口诀
可輔助學習，熟練後亦可不用。
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=1 style="border-collapse: collapse;"
|- align="center" bgcolor="#CCFFCC"
|rowspan="2"|'''减数'''||colspan="2"|'''不退位减'''||colspan="2"|'''退位减'''
|- align="center" bgcolor="#CCFFCC"
|直减||破五减||退位减||退十补五减
|-
|一||一去一||一上四去五||一退一还九||　
|-
|二||二去二||二上三去五||二退一还八||　
|-
|三||三去三||三上二去五||三退一还七||　
|-
|四||四去四||四上一去五||四退一还六||　
|-
|五||五去五|| 　||五退一还五||　
|-
|六||六去六|| 　||六退一还四||六退一还五去一
|-
|七||七去七|| 　||七退一还三||七退一还五去二
|-
|八||八去八|| 　||八退一还二||八退一还五去三
|-
|九||九去九|| 　||九退一还一||九退一还五去四
|}
以 -3 為例:

「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。
「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。
「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。

; 負數
遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作'''懸珠'''來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的[[二補數]]。

=== 乘算 ===
基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97
:<math>32 * 97</math>
::<math>= 32 * (90+7)</math>
::<math>= 32 * 90 + 32 * 7</math>

更進一步分解，
::<math>= (30+2)*90+(30+2)*7</math>
::<math>= 30*90+2*90+30*7+2*7</math>

計算時，不用考慮位值，則只需計算''一位×一位''，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個''一位×一位''的結果先計算出來，此即為乘法口诀——[[九九歌]]。

而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：
* '''看頭乘法'''，''被乘數、乘數放置盤面上''。
** 看頭乘法，又稱''見乘法''，''乘法速算法''。
* '''破頭乘法'''，''被乘數、乘數不放置盤面上''。
** 破頭乘法，又稱''頭乘法''
** 破頭乘法別法，又稱''新頭乘法''，或稱''隔位乘法''。

此外，另有一種技巧 '''湊倍乘法'''<ref>{{cite web |title=（算盘）珠算10：乘法2——凑倍乘法 |url=https://www.bilibili.com/s/video/BV1qC4y1a7vG |website=哗哩哗哩 |access-date=2021-10-21 |archive-date=2021-10-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211021103901/https://www.bilibili.com/s/video/BV1qC4y1a7vG |dead-url=no }}</ref>，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。

其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多只有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「''×1''、''×2''、''×5''的某種組合」如：被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「''×1''、''×2''、''×5''」這三種運算是容易心算的。

; 看頭乘法
; 破頭乘法
; 新頭乘法
（例）'''32×97'''
{| style="text-align:right"
|{{一四式算盤/直接輸入|2|3|-1=0|-2=0|-3=0|}}
|→
|{{一四式算盤/直接輸入|0|3|-1=0|-2=0|-3=0|}}
|→
|{{一四式算盤/直接輸入|0|3|-1=1|-2=8|-3=0|}}
|→
|{{一四式算盤/直接輸入|0|3|-1=1|-2=9|-3=4|}}
|-
|32
|
|算「2」字
|
|2×90
|
|<nowiki>+2×7</nowiki>
|-
|
|→
|{{一四式算盤/直接輸入|0|0|-1=1|-2=9|-3=4|}}
|→
|{{一四式算盤/直接輸入|2|0|-1=8|-2=9|-3=4|}}
|→
|{{一四式算盤/直接輸入|3|0|-1=1|-2=0|-3=4|}}
|
|-
|
|
|算「3」字
|
|<nowiki>+30×90</nowiki>
|
|<nowiki>+30×7</nowiki>
|='''3104'''
|}

;湊倍乘法

=== 除算 ===
方法跟[[長除法]]類似，即'''逐位（由高位向低位）來決定適合的商'''。計算方式主要分兩步驟'''估商'''（或試商）和'''減積'''。

計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

==== 商除法 ====
以[[約率]]為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。

（例）<math>22 \div 7</math>
* 第一位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|colspan="2"| 置數<br><br> ||
|colspan="2"| 估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}3}</math> ||
|colspan="2"| 減積<br><math>- 3 \times 7 = -\bold{\color{Blue}21}</math> ||
|-
|{{一四式算盤/直接輸入|0|0|0}}
|{{一四式算盤|2200}}
| →
|{{一四式算盤|300}}
|{{一四式算盤|2200}}
| →
|{{一四式算盤|300}}
|{{一四式算盤/直接輸入|0|0|1|0}}
|- style="text-align:center"
| <math>000</math><br>(<math>3.00</math>)
| <math>\bold{\color{Red}22}00</math><br>(<math>22.00</math>) ||
| <math>\bold{\color{Red}3}00</math><br>(<math>3.00</math>)
| <math>2200</math><br>(<math>22.00</math>) ||
| <math>300</math><br>(<math>3.00</math>)
| <math>\bold{\color{Red}01}00</math><br>(<math>1.00</math>) ||
|- style="text-align:center" valign="top"
|colspan="2"|<math>
\begin{array}{lr} 
& \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}22}} \\ 
\end{array}
</math>
|
|colspan="2"|<math>
\begin{array}{lr} 
& \bold{\color{Red}3} \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ 
\end{array}
</math>
||
|colspan="2"| <math>
\begin{array}{lr} 
& 3 \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ 
& \underline{-\bold{\color{Blue}21}} \\ 
& \bold{\color{Red}1}\\
\end{array}
</math>
|}

* 第二位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|colspan="2"| <br><br> ||
|colspan="2"| 估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}1}</math> ||
|colspan="2"| 減積<br><math>- 1 \times 7 = - \bold{\color{Blue}7}</math> ||
|-
|{{一四式算盤|300}}
|{{一四式算盤/直接輸入|0|0|1|0}}
| →
|{{一四式算盤|310}}
|{{一四式算盤/直接輸入|0|0|1|0}}
| →
|{{一四式算盤|310}}
|{{一四式算盤/直接輸入|0|3|0|0}}
|- style="text-align:center"
| <math>300</math><br>(<math>3.00</math>)
| <math>0100</math><br>(<math>1.00</math>) ||
| <math>3\bold{\color{Red}1}0</math><br>(<math>3.10</math>)
| <math>0100</math><br>(<math>1.00</math>) ||
| <math>310</math><br>(<math>3.10</math>)
| <math>0\bold{\color{Red}03}0</math><br>(<math>0.30</math>) ||
|- style="text-align:center" valign="top"
|colspan="2"| <math>
\begin{array}{lr} 
& 3_.\ \ \ \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ } \\ 
& \underline{-21\ \ \ \ } \\ 
& 10\ \ \\
\end{array}
</math>
|
|colspan="2"| <math>
\begin{array}{lr} 
& 3_.\bold{\color{Red}1}\\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ } \\ 
& \underline{-21\ \ \ } \\ 
& 10\ \\
\end{array}
</math>
||
|colspan="2"| <math>
\begin{array}{lr} 
& 3_.1\\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ } \\ 
& \underline{-21\ \ \ } \\ 
& 10\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}7}\ } \\
& \bold{\color{Red}3}\ \\
\end{array}
</math>
|}

* 第三位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|colspan="2"| <br><br> ||
|colspan="2"| 估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}4}</math> ||
|colspan="2"| 減積<br><math>- 4 \times 7 = \bold{\color{Red}28}</math> ||
|-
|{{一四式算盤|310}}
|{{一四式算盤/直接輸入|0|3|0|0}}
| →
|{{一四式算盤|314}}
|{{一四式算盤/直接輸入|0|3|0|0}}
| →
|{{一四式算盤|314}}
|{{一四式算盤/直接輸入|2|0|0|0}}
|- style="text-align:center"
| <math>310</math><br>(<math>3.10</math>)
| <math>0030</math><br>(<math>0.30</math>) ||
| <math>31\bold{\color{Red}4}</math><br>(<math>3.14</math>)
| <math>0030</math><br>(<math>0.30</math>) ||
| <math>314</math><br>(<math>3.14</math>)
| <math>00\bold{\color{Red}02}</math><br>(<math>0.02</math>) ||
|- style="text-align:center" valign="top"
|colspan="2"| <math>
\begin{array}{lr} 
& 3_.1\ \ \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ 
& \underline{-217\ \ \ } \\ 
& 30\ \\
\end{array}
</math>
|
|colspan="2"| <math>
\begin{array}{lr} 
& 3_.1\bold{\color{Red}4}\ \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ 
& \underline{-217\ \ \ } \\ 
& 30\ \\
\end{array}
</math>
||
|colspan="2"| <math>
\begin{array}{lr} 
& 3_.14\ \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ \ } \\ 
& \underline{-217\ \ \ } \\ 
& 30\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}28}\ } \\
& \bold{\color{Red}2}\ \\
\end{array}
</math>
|}
得到 <math>22 \div 7 = 3.14 .. 0.02</math>。


而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是'''夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商'''。

以[[密率]]為例，說明完整的商除法。


以 <math>355 \div 113</math> 為例

* 第一位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|置數<br><br> ||
|估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}3}</math>。夠除，隔位置商。 ||
|減積<br><math>- 3 \times 113 = -\bold{\color{Blue}339}</math>
|-
|{{一四式算盤/直接輸入|0|0|0|0|0|0|5|5|3|0|0}}
| →
|{{一四式算盤|30355000000}}
| →
|{{一四式算盤|30016000000}}
|- style="text-align:center"
| <math>00</math>"<math>355000000</math><br> ||
| <math>\bold{\color{Red}3}0</math>"<math>355000000</math><br> ||
| <math>30</math>"<math>\bold{\color{Red}016}000000</math><br> ||
|- style="text-align:center" valign="top"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}355}} \\ 
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& \bold{\color{Red}3} \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ 
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3 \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ 
& \underline{-\bold{\color{Blue}339}} \\ 
& \bold{\color{Red}16}\\
\end{array}
</math>
|}

* 第二位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|前次結果<br><br> ||
|估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}1}</math>。夠除，隔位置商。 ||
|減積<br><math>- 1 \times 113 = - {\color{Blue}113}</math>
|-
|{{一四式算盤|30016000000}}
| →
|{{一四式算盤|31016000000}}
| →
|{{一四式算盤|31004700000}}
|- style="text-align:center"
| <math>310</math>"<math>16000000</math><br> ||
| <math>3\bold{\color{Red}1}0</math>"<math>16000000</math><br> ||
| <math>310</math>"<math>\bold{\color{Red}047}00000</math><br> ||
|- style="text-align:center" valign="top"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3\ \ \ \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\ 
& \underline{-339\ \ \ } \\ 
& 16\ \ \ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.\bold{\color{Red}1} \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ }\\ 
& \underline{-339\ \ \ }\\ 
& 160\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.1 \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ }\\ 
& \underline{-339\ \ \ }\\ 
& 160\\
& \underline{-\bold{\color{Blue}113}}\\
& \bold{\color{Red}47}\\
\end{array}
</math>
|}

* 第三位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|前次結果<br><br> ||
|估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}4}</math>。夠除，隔位置商。 ||
|減積<br><math>- 4 \times 113 = - {\color{Blue}452}</math>
|-
|{{一四式算盤|31004700000}}
| →
|{{一四式算盤|31404700000}}
| →
|{{一四式算盤|31400180000}}
|- style="text-align:center"
| <math>3100</math>"<math>4700000</math><br> ||
| <math>31\bold{\color{Red}4}0</math>"<math>4700000</math><br> ||
| <math>3140</math>"<math>\bold{\color{Red}018}0000</math><br>
|- style="text-align:center" valign="top"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.1\ \ \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-3503\ \ \ }\\ 
& 470\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.1\bold{\color{Red}4}\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-3503\ \ \ }\\ 
& 470\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.14\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-3503\ \ \ }\\ 
& 470\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}452}}\\
& \bold{\color{Red}18}\\
\end{array}
</math>
|}

* 第四位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|前次結果<br><br> ||
|估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}1}</math>。夠除，隔位置商。 ||
|減積<br><math>- 1 \times 113 = - {\color{Blue}113}</math>
|-
|{{一四式算盤|31400180000}}
| →
|{{一四式算盤|31410180000}}
| →
|{{一四式算盤|31410067000}}
|- style="text-align:center"
| <math>31400</math>"<math>180000</math><br> ||
| <math>314\bold{\color{Red}1}0</math>"<math>180000</math><br> ||
| <math>31410</math>"<math>\bold{\color{Red}067}000</math><br>
|- style="text-align:center" valign="top"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.14\ \ \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.82\ \ }\\ 
& 180\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.14\bold{\color{Red}1}\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.82\ \ }\\ 
& 180\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.141\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.82\ \ }\\ 
& 180\\
& \underline{-\bold{\color{Blue}113}}\\
& \bold{\color{Red}67}\\
\end{array}
</math>
|}

* 第五位
{|
|+
|- style="text-align:center"
|前次結果<br><br> ||
|估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}5}</math>。夠除，隔位置商。 ||
|減積<br><math>- 5 \times 113 = - {\color{Blue}565}</math>
|-
|{{一四式算盤|31410067000}}
| →
|{{一四式算盤|31415067000}}
| →
|{{一四式算盤|31415010500}}
|- style="text-align:center"
| <math>314100</math>"<math>67000</math><br> ||
| <math>3141\bold{\color{Red}5}0</math>"<math>67000</math><br> ||
| <math>314150</math>"<math>\bold{\color{Red}105}00</math><br>
|- style="text-align:center" valign="top"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.141\ \ \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.933\ \ }\\ 
& 67\ \ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.141\bold{\color{Red}5}\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.933\ \ }\\ 
& 670\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.1415\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.933\ \ }\\ 
& 670\\
& \underline{-565}\\
& 105\\
\end{array}
</math>
|}


* 第六位。注意，這位是'''不夠除，挨位置商'''。
{|
|+
|- style="text-align:center"
|前次結果<br><br> ||
|估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}9}</math>。'''不夠除，挨位置商'''。 ||
|減積<br><math>- 9 \times 113 = - {\color{Blue}1017}</math>
|-
|{{一四式算盤|31415010500}}
| →
|{{一四式算盤|31415910500}}
| →
|{{一四式算盤|31415900330}}
|- style="text-align:center"
| <math>314150</math>"<math>10500</math><br> ||
| <math>31415\bold{\color{Red}9}</math>"<math>10500</math><br> ||
| <math>314159</math>"<math>\bold{\color{Red}0033}0</math><br>
|- style="text-align:center" valign="top"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.1415\ \ \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.9895\ \ }\\ 
& 105\ \ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.1415\bold{\color{Red}9}\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.9895\ \ }\\ 
& 1050\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.14159\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.9895\ \ }\\ 
& 105\ \ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}1017}}\\ 
& \bold{\color{Red}33}\\
\end{array}
</math>
|}

* 第七位。
{|
|+
|- style="text-align:center"
|前次結果<br><br> ||
|估商<br>估為 <math>\bold{\color{Red}2}</math>。夠除，隔位置商。 ||
|減積<br><math>- 2 \times 113 = - {\color{Blue}226}</math>
|-
|{{一四式算盤|31415900330}}
| →
|{{一四式算盤|31415920330}}
| →
|{{一四式算盤|31415920104}}
|- style="text-align:center"
| <math>31415900</math>"<math>330</math><br> ||
| <math>314159\bold{\color{Red}2}0</math>"<math>330</math><br> ||
| <math>31415920</math>"<math>\bold{\color{Red}104}</math><br>
|- style="text-align:center" valign="top"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.14159\ \ \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.99967\ \ }\\ 
& 33\ \ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.14159\bold{\color{Red}2}\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.99967\ \ }\\ 
& 330\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.141592\\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ 
& \underline{-354.99967\ \ }\\ 
& 330\\
& \underline{-\bold{\color{Blue}226}}\\ 
& \bold{\color{Red}104}\\
\end{array}
</math>
|}

得 <math>355 \div 113 = 3.141592 .. 0.000104</math>

; 修正商
計算過程中，若發現所估的商過大，則要'''退商'''；若估商太小，則要'''補商'''。

==== 歸除法 ====
其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。

除數為一位的稱為'''單歸法'''，除數為多位的，則為'''歸除法'''。

===== 九歸訣 =====
目前可知最早的記載為[[朱世傑]]所撰《[[算學啟蒙]]》卷上《歸除歌訣》：「
一歸如一進、見一進成十；<br>
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十；<br>
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十；<br>
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十；<br>
五歸添一倍、逢五進成十；<br>
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十；<br>
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十；<br>
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十；<br>
九歸隨身下、逢九進成十<br>
」<br>

整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。<br>
以'''三一三十一'''為例，第一個數字為三，是''除數的首數為三''，第二個數字為一，是''被除數首數為一''，數字雖為 1，但計算的是 <math>1 \times 10</math> 。
而'''三十一'''意指'''商為 3 ，餘為 1'''。同樣的，'''三二六十二'''是指'''<math>20 \div 3 = 6..2</math>'''。'''逢三進成十'''是指'''<math>30 \div 3 = 10..0</math>'''。<br>
有些語句是用'''下加幾'''來表示，是指'''商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾'''。以'''七二下加六'''為例，'''<math>20 \div 7 = 2..6</math>'''。
'''五歸添一倍'''是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：<math>30 \div 5 = 6</math>）<br>

其中，部分口訣，也成了成語。如'''二一添作五'''意味'''兩者平分'''，'''三一三十一'''意味'''三者平分'''。<br>

; 其他版本
也有幾種不同的版本，如簡化版：「<br>
一歸如一進，見一進成十；<br>
二一添作五，逢二進成十；<br>
三一三十一，三二六十二，逢三進成十；<br>
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十；<br>
五歸添一倍，逢五進成十；<br>
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十；<br>
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十；<br>
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十；<br>
九歸隨身下，逢九進成十。<br>
」

或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三'''餘'''一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「<br>
一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。<br>
二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。<br>
三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。<br>
四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。<br>
五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。<br>
六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。<br>
七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。<br>
八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。<br>
九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。<br>
」

===== 單歸法（除數為一位）=====
以[[約率]]為例。

（例） <math>22 \div 7</math>
{|
|+七歸
|置數
|
|七二下加六
商設為 <math>2</math>

下一檔 <math>+6</math>
|
|逢七進一
商<math>+1</math>

本檔<math>-1</math>。
|
|七一下加三
商設為 <math>1</math>

下一檔 <math>+3</math>
|
|七三四餘二
商設為 <math>4</math>

下一檔 <math>+2</math>
|- style="align:center"
|{{一四式算盤|2200}}
|→
|{{一四式算盤|2800}}
|→
|{{一四式算盤|3100}}
|→
|{{一四式算盤|3130}}
|→
|{{一四式算盤|3142}}
|- style="text-align:center"
|<math></math>"<math>2200</math>
|
|<math>\bold{\color{Red}2}</math>"<math>\bold{\color{Red}8}00</math>
|
|<math>\bold{\color{Red}31}</math>"<math>00</math>
|
|<math>3\bold{\color{Red}1}</math>"<math>\bold{\color{Red}3}0</math>
|
|<math>31\bold{\color{Red}4}</math>"<math>\bold{\color{Red}2}</math>
|
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr} 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ 
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& \bold{\color{Red}2} \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ 
& \underline{-\bold{\color{Blue}14}} \\ 
& \bold{\color{Red}8}\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& \bold{\color{Red}3} \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22} \\ 
& -14 \\ 
& \underline{-\bold{\color{Blue}7}} \\ 
& \bold{\color{Red}1}\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.\bold{\color{Red}1} \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ } \\ 
& \underline{-21\ \ } \\ 
& 10\\
& \underline{-\bold{\color{Blue}7}} \\ 
& \bold{\color{Red}3}\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3.1\bold{\color{Red}4} \\ 
7  \!\!\!\!\!\! & \overline{)22\ \ \ \ } \\ 
& \underline{-21.7\ \ } \\ 
& 30\\
& \underline{-\bold{\color{Blue}28}} \\ 
& \bold{\color{Red}2}\\
\end{array}
</math>
|}
得 <math>22 \div 7 = 3.14 .. 0.02</math>

===== 歸除法（除數為多位）=====
跟單歸法類似，也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

以 <math>12345 \div 321</math> 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為'''歸'''，除數的首數以外的數稱為'''除'''。除數為 321 的話，稱作'''3歸21除'''，意味著用 '''3歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積'''。

減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要'''增商'''，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需'''退商'''，則有'''退商口訣'''：

* 一歸：無除起一下還一
* 二歸：無除起一下還二
* 三歸：無除起一下還三
* 四歸：無除起一下還四
* 五歸：無除起一下還五
* 六歸：無除起一下還六
* 七歸：無除起一下還七
* 八歸：無除起一下還八
* 九歸：無除起一下還九

這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。


另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用'''撞歸口訣'''：

* 一歸：見一無除撞九一
* 二歸：見二無除撞九二
* 三歸：見三無除撞九三
* 四歸：見四無除撞九四
* 五歸：見五無除撞九五
* 六歸：見六無除撞九六
* 七歸：見七無除撞九七
* 八歸：見八無除撞九八
* 九歸：見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。


以[[密率]]為例，因為除數為 <math>113</math>，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：

* 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
* 退商口訣：無除起一下還一。
* 撞歸口訣：見一無除撞九一。

（例）<math>355 \div 113</math>

* 第一位

{|
|+一歸十三除
|置數
|
|逢三進三
商為 <math>\bold{\color{Red}3}</math>
|
|以十三除減積
<math>-3 \times 13 = -\bold{\color{Blue}39}</math>。
|- style="align:center"
|{{一四式算盤/直接輸入|0|0|0|0|0|0|5|5|3|0}}
|→
|{{一四式算盤|3055000000}}
|→
|{{一四式算盤|3016000000}}
|- style="text-align:center"
|<math>0</math>"<math>3550000000</math>
|
|<math>\bold{\color{Red}3}</math>"<math>\bold{\color{Red}0}550000000</math>
|
|<math>3</math>"<math>0\bold{\color{Red}16}0000000</math>
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr} 
& \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)\bold{\color{Red}355}} \\ 
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& \bold{\color{Red}3} \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}300}} \\
& \bold{\color{Red}55}\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr} 
& 3 \\ 
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355} \\ 
& -300 \\ 
& \underline{-\bold{\color{Blue}39}} \\ 
& \bold{\color{Red}16}\\
\end{array}
</math>
|}

* 第二位

{|
|+一歸十三除
|前次結果
|
|逢一進一
商為 <math>\bold{\color{Red}1}</math>
|
|以十三除減積
<math>-1 \times 13 = -\bold{\color{Blue}13}</math>。
|- style="align:center"
|{{一四式算盤|3016000000}}
|→
|{{一四式算盤|3106000000}}
|→
|{{一四式算盤|3104700000}}
|- style="text-align:center"
|<math>30</math>"<math>160000000</math>
|
|<math>3\bold{\color{Red}1}</math>"<math>\bold{\color{Red}0}60000000</math>
|
|<math>31</math>"<math>0\bold{\color{Red}47}000000</math>
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3\ \ \ \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\
& \underline{-339\ \ \ }\\
& 16\ \ \ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.\bold{\color{Red}1} \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\
& \underline{-339\ \ \ }\\
& 160\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}100}} \\
& \bold{\color{Red}0}60\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.1 \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\
& \underline{-339\ \ \ }\\
& 160\ \\
& -100\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}13\ }} \\
& \bold{\color{Red}47\ }\\
\end{array}
</math>
|}

* 第三位

{|
|+一歸十三除
|前次結果
|
|逢四進四
商為 <math>\bold{\color{Red}4}</math>
|
|以十三除減積
<math>-4 \times 13 = -\bold{\color{Blue}52}</math>。
|- style="align:center"
|{{一四式算盤|3104700000}}
|→
|{{一四式算盤|3140700000}}
|→
|{{一四式算盤|3140180000}}
|- style="text-align:center"
|<math>310</math>"<math>4700000</math>
|
|<math>31\bold{\color{Red}4}</math>"<math>\bold{\color{Red}0}700000</math>
|
|<math>314</math>"<math>0\bold{\color{Red}18}0000</math>
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.1 \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ } \\
& \underline{-3503}\\
& 47\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.1\bold{\color{Red}4} \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\
& \underline{-3503\ \ \ }\\
& 470\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}4}00\ }\\
& 70\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.14 \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\
& \underline{-3503\ \ \ }\\
& 470\ \\
& -400\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}52}\ }\\
& \bold{\color{Red}18}\ \\
\end{array}
</math>
|}

* 第四位

{|
|+一歸十三除
|前次結果
|
|逢一進一
商為 <math>\bold{\color{Red}1}</math>
|
|以十三除減積
<math>-1 \times 13 = -\bold{\color{Blue}13}</math>。
|- style="align:center"
|{{一四式算盤|3140180000}}
|→
|{{一四式算盤|3141080000}}
|→
|{{一四式算盤|3141067000}}
|- style="text-align:center"
|<math>3140</math>"<math>180000</math>
|
|<math>314\bold{\color{Red}1}</math>"<math>\bold{\color{Red}0}80000</math>
|
|<math>3141</math>"<math>0\bold{\color{Red}67}000</math>
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.14 \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35482\ }\\
& 18\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35482\ \ \ }\\
& 180\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}100}}\\
& \bold{\color{Red}0}80\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35482\ \ \ }\\
& 180\ \\
& -100\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}13\ }}\\
& \bold{\color{Red}67}\ \\
\end{array}
</math>
|}

* 第五位

{|
|+一歸十三除
|前次結果
|
|逢六進六
商為 <math>\bold{\color{Red}6}</math>
|
|以十三除減積
<math>\begin{array}{ll}
-6 \times 13 &= -6 \times (10+3)\\
&= -\bold{\color{Blue}60} -\bold{\color{Purple} 18} \\
\end{array}</math>
|
|加回減積
|
|退商
無除起一下還一 商<math>
-1
</math>為 <math>\bold{\color{Red}5}</math>，下一檔<math>
+1
</math>
|
|以十三除減積
<math>-5 \times 13 = -\bold{\color{Blue}65}</math>。
|- style="align:center"
|{{一四式算盤|3141067000}}
|→
|{{一四式算盤|3141607000}}
|→
|{{一四式算盤|3141601000}}
|→
|{{一四式算盤|3141607000}}
|→
|{{一四式算盤|3141517000}}
|→
|{{一四式算盤|3141510500}}
|- style="text-align:center"
|<math>31410</math>"<math>67000</math>
|
|<math>3141\bold{\color{Red}6}</math>"<math>\bold{\color{Red}0}7000</math>
|
|<math>31416</math>"<math>0\bold{\color{Red}1}000</math>
|
|<math>31416</math>"<math>0\bold{\color{Red}7}000</math>
|
|<math>3141\bold{\color{Red}5}</math>"<math>\bold{\color{Red}1}7000</math>
|
|<math>31415</math>"<math>1\bold{\color{Red}05}00</math>
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-354933\ }\\
& 67\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141\bold{\color{Red}6}\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-354933\ \ \ }\\
& 670\ \\
& \underline{-600\ }\\
& \bold{\color{Red}0}70\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.1416\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-354933\ \ \ }\\
& 670\ \\
& \underline{-600\ }\\
& 70\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}60}\ }\\
& \bold{\color{Red}10}\ & \bold{\color{Purple}< 18}\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.1416\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-354933\ \ \ }\\
& 670\ \\
& \underline{-600\ }\\
& 70\ \\
& -60\ \\
& \underline{+\bold{\color{Blue}60}\ }\\
& \bold{\color{Red}70}\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141\bold{\color{Red}5}\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-354933\ \ \ }\\
& 670\ \\
& \underline{-500\ }\\
& \bold{\color{Red}1}70\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141\bold{\color{Red}5}\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-354933\ \ \ }\\
& 670\ \\
& -500\ \\
& \underline{-65\ }\\
& 1\bold{\color{Red}05}\ \\
\end{array}
</math>
|}

* 第六位

{|
|+一歸十三除
|前次結果
|
|見一無除撞九一
商為 <math>\bold{\color{Red}9}</math>，下一檔 <math>+1</math>
|
|以十三除減積
<math>-9 \times 13 = -\bold{\color{Blue}117}</math>。
|- style="align:center"
|{{一四式算盤|3141510500}}
|→
|{{一四式算盤|3141591500}}
|→
|{{一四式算盤|3141590330}}
|- style="text-align:center"
|<math>31415</math>"<math>10500</math>
|
|<math>31415\bold{\color{Red}9}</math>"<math>\bold{\color{Red}1}500</math>
|
|<math>314159</math>"<math>\bold{\color{Red}033}0</math>
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.1415\ \ \ \\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-3549895\ \ \ }\\
& 105\ \ \ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.1415\bold{\color{Red}9}\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-3549895\ \ \ }\\
& 1050\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}9}00\ }\\
& \bold{\color{Red}1}50\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.14159\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-3549895\ \ \ }\\
& 1050\ \\
& -900\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}117}\ }\\
& \bold{\color{Red}33}\ \\
\end{array}
</math>
|}

* 第七位

{|
|+一歸十三除
|前次結果
|
|逢三進三
商為 <math>\bold{\color{Red}3}</math>
|
|以十三除減積
<math>\begin{array}{ll}
-3 \times 13 &= -3 \times (10+3)\\
&= -\bold{\color{Blue}30} -\bold{\color{Purple} 9} \\
\end{array}</math>
|
|加回減積
|
|退商
無除起一下還一

商<math>
-1
</math>為 <math>\bold{\color{Red}2}</math>，下一檔<math>
+1
</math>
|
|以十三除減積
<math>-5 \times 13 = -\bold{\color{Blue}65}</math>。
|- style="align:center"
|{{一四式算盤|3141590330}}
|→
|{{一四式算盤|3141593030}}
|→
|{{一四式算盤|3141593000}}
|→
|{{一四式算盤|3141593030}}
|→
|{{一四式算盤|3141592130}}
|→
|{{一四式算盤|3141592104}}
|- style="text-align:center"
|<math>3141590</math>"<math>330</math>
|
|<math>314159\bold{\color{Red}3}</math>"<math>\bold{\color{Red}0}30</math>
|
|<math>3141593</math>"<math>0\bold{\color{Red}0}0</math>
|
|<math>3141593</math>"<math>0\bold{\color{Red}3}0</math>
|
|<math>314159\bold{\color{Red}2}</math>"<math>\bold{\color{Red}1}30</math>
|
|<math>3141592</math>"<math>1\bold{\color{Red}04}</math>
|- valign="top" style="text-align:center"
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.14159\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35499967\ }\\
& 33\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.14159\bold{\color{Red}3}\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35499967\ \ \ }\\
& 330\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}3}00\ }\\
& \bold{\color{Red}0}30\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141593\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35499967\ \ \ }\\
& 330\ \\
& -300\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}3}0\ }\\
& 0\bold{\color{Red}0}0\ & \bold{\color{Purple}< 9}\\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.141593\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35499967\ \ \ }\\
& 330\ \\
& -300\ \\
& -30\ \\
& \underline{+\bold{\color{Blue}3}0\ }\\
& 0\bold{\color{Red}3}0\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.14159\bold{\color{Red}2}\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35499967\ \ \ }\\
& 330\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}2}00\ }\\
& \bold{\color{Red}1}30\ \\
\end{array}
</math>
|
|<math>
\begin{array}{lr}
& 3.14159\bold{\color{Red}2}\\
113  \!\!\!\!\!\! & \overline{)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\
& \underline{-35499967\ \ \ }\\
& 330\ \\
& -200\ \\
& \underline{-\bold{\color{Blue}26}\ }\\
& 1\bold{\color{Red}04}\ \\
\end{array}
</math>
|}


得 <math>355 \div 113 = 3.141592 .. 0.000104</math>。

==== 湊倍除法 ====
或稱'''累減除法'''、'''大扒皮'''，首見於《[[九章詳註比類算法大全]]》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

=== 開平方 ===
開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

== 驗算 ==
;還原驗算法
一、交換律
    加法算式:被加數+加數=和數
    驗算公式:加數+被加數=和數
    減法算式:被減數-減數=差數
    驗算公式:被減數-差數=減數
    乘法算式：被乘數*乘數=積
    驗算公式：乘數*被乘數=積

二、逆運算
    加法算式:被加數+加數=和數
    驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
    減法算式:被減數-減數=差數
    驗算公式:差數+減數=被減數
    乘法算式：被乘數*乘數=積
    驗算公式：積/被乘數=乘數
    除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
    驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數

三、尾錯復尾
    只再計算最後幾位數一次

;九餘數法
只能驗加法,減法,乘法和乘冪

範例一、 123+456=599
         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         599=5+9+9=5(mod 9)
        因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579

範例二、  123*456=68934
          123=1+2+3=6(mod 9)
          456=4+5+6=6(mod 9)
          68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
        因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088

範例三、  22*68*53=369780
          22=4(mod 9)
          68=5(mod 9)
          53=8(mod 9)
          369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
         因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288

範例四、  23^4=367981
          23^4=(-4)^4=4(mod 9)
          367981=34=7(mod 9)
        因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841

    九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
          

;九除法

;十一除法

;二除法

== 珠算競技 ==
珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用[[珠算式心算]]技巧。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Commonscat|Abacus}}
* [http://www.abacus.org.tw/ 珠算全球資訊網] {{Wayback|url=http://www.abacus.org.tw/ |date=20141130161502 }}
* [http://www.caca.org.tw/ 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會] {{Wayback|url=http://www.caca.org.tw/ |date=20141104001457 }}
* [http://www.waama.org.cn/index.asp 世界珠心算网] {{Wayback|url=http://www.waama.org.cn/index.asp |date=20140824220519 }}

== 參見 ==
{{Portal box|中国|数学}}
* [[算盘]]
* [[籌算]]
* [[心算]]
* 《[[算法統宗]]》

{{-}}
{{中国数学史}}
{{中国非物质文化遗产代表作}}

[[Category:珠算| ]]
[[Category:中国人类非物质文化遗产代表作]]