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{{No footnotes|time=2024-05-21T05:17:30+00:00}}
{{環論}}
{{Algebraic structures}}
'''環'''（英文：Ring）是一種帶有兩個[[二元運算]]（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的[[集合 (数学)|集合]]。它抽象化了諸如[[整數]]、[[有理數]]、[[實數]]、[[複數 (數學)|複數]]、[[多項式]]、[[矩陣]]、[[函数|函數]]、[[算子]]等等的代數結構。它是[[環論]]的主要研究對象，並且是構成各種[[抽象代数|抽象代數]]理論的重要基本概念。

環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法[[單位元]]有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有[[結合律]]。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法[[單位元]]、乘法有[[結合律]]的環。關於乘法無單位元的環，請見[[偽環]]一文。

== 定義 ==
給定一個集合 <math>R</math> 以及兩個定義在 <math>R</math> 上的[[二元運算]] <math>+</math> 和 <math>\times</math> {{noteTag|分別稱為「<math>R</math> 的加法」和「<math>R</math> 的乘法」}}。如果 <math>R</math> 、 <math>+</math> 和 <math>\times</math> 具有以下八個性質{{noteTag|稱為'''環公理'''}}，則稱 <math>(R,+,\times)</math> {{noteTag|意思是<math>R</math> 連同 <math>+</math> 和 <math>\times</math> 這兩個二元運算一同提及}}構成了一個'''環'''。
# <math>(R,+)</math> 是一個[[阿貝爾群|交換群]]：
#* '''加法有[[結合律]]'''——對所有的 <math>a, b, c \in R</math> ，都有：<math display="block">(a + b) + c = a + (b + c)</math>
#* '''加法有[[交換律]]'''——對所有的 <math>a, b \in R</math> ，都有：<math display="block">a + b = b + a</math>
#* '''有加法[[單位元]]'''——存在某個{{noteTag|可以證明這樣子的元素實際上是唯一的|name=實際上唯一}} <math>0_{R} \in R</math> ，使得所有的 <math>r \in R</math> ，都有： <math display="block">0_{R} + r = r</math>
#* '''有加法[[反元素]]'''——對所有的 <math>r \in R</math> ，存在某個{{noteTag|可以證明這樣子的元素實際上是唯一的|name=實際上唯一}} <math>-r \in R</math> ，使得： <math display="block">-r + r = 0</math>
# <math display="inline">(R,\times)</math> 是一個[[么半群|有單位元的半群]]：
#* '''乘法有[[結合律]]'''——對所有的 <math>a,\,b,\,c \in R</math> ，都有： <math display="block">(a \times b) \times c = a \times (b \times c)</math>
#* '''有乘法[[單位元]]'''——存在某個{{noteTag|可以證明這樣子的元素實際上是唯一的|name=實際上唯一}} <math>1_{R} \in R</math> ，使得所有的 <math>r \in R</math> ，都有：<math display="block">1_{R} \times r = r \times 1_{R} = r</math>
# 乘法對於加法滿足'''[[分配律]]'''：
#* '''（左）[[分配律]]'''——對所有的 <math>a,\,b,\,c \in R</math> ，都有：<math display="block">a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)</math>
#* '''（右）[[分配律]]'''——對所有的 <math>a,\,b,\,c \in R</math> ，都有：<math display="block">(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)</math>
環的乘法經常依照慣例{{NoteTag|在不致混淆的情況下。}}，不會寫出「 <math>\times</math> 」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：<math display="block">a (b + c) = ab + ac</math>此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。

=== 定義的分歧 ===
環的定義的分歧通常在於是否要求乘法[[單位元]]的存在。在 1960 年代以前，多數[[抽象代數]]的教科書通常會採用[[埃米·纳脱|埃米·諾特]]的定義，不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後，越來越多的著名教科書作者（例如：[[尼古拉·布尔巴基|尼古拉·布爾巴基]]、{{link-en|大衛·艾森佈德|David_Eisenbud}}、[[塞尔日·兰|塞爾日·蘭]]）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為'''單位環'''（ unital ring ）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（ '''<u>i</u>'''dentity ）的環（ '''<u>r</u>'''i'''<u>ng</u>''' ）稱為 '''rng''' {{noteTag|暫無廣為接受的中文翻譯}}或'''偽環'''（ pseudo-ring ），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。

另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。

== 例子 ==
* [[整數]] <math>\mathbb{Z}</math> 、[[有理數]] <math>\mathbb{Q}</math> 、[[實數]] <math>\mathbb{R}</math> 和[[複數 (數學)|複數]] <math>\mathbb{C}</math> ，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是 <math>0</math> ，乘法單位元是 <math>1</math> ，是最典型的實際例子。
* 整係數[[多項式|多項式環]] <math>\mathbb{Z}[x]</math> 、有理係數[[多項式|多項式環]] <math>\mathbb{Q}[x]</math> ，實係數[[多項式|多項式環]] <math>\mathbb{R}[x]</math> 、複係數[[多項式|多項式環]] <math>\mathbb{C}[x]</math> ，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是 <math>0</math> ，乘法單位元也是 <math>1</math> 。更一般地，可以考慮任何環 <math>R</math> 的多項式環 <math>R[x]</math> 。
* 整係數[[有理函數]] <math>\mathbb{Z}(x)</math> 、有理係數[[多項式|有理函數]] <math>\mathbb{Q}(x)</math> ，實係數[[有理函數]] <math>\mathbb{R}(x)</math> 、複係數[[多項式|有理函數]] <math>\mathbb{C}(x)</math> ，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是 <math>0</math> ，乘法單位元依然是 <math>1</math> 。更一般地，可以考慮任何環 <math>R</math> 的有理函數環 <math>R(x)</math> ；而「建構分式」的操作還是「[[分式體]]」以及更一般的「[[環的局部化|局部化]]」這些概念的起源。
* 大小為 <math>n \times n</math> 的整係數[[矩陣]] <math>\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Z})</math> 、有理係數[[矩陣]] <math>\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Q})</math> 、實係數[[矩陣]] <math>\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})</math> 、或複係數[[矩陣]] <math>\mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})</math>，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣 ：<math display="block">\mathbf{0}_{n} := 
\begin{bmatrix}     
    0 & 0 & \dots & 0 \\
    0 & 0 & \dots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & \dots  & 0 \\
\end{bmatrix}_{n \times n}</math>乘法單位元則是單位矩陣 ：<math display="block">\mathrm{I}_{n} := 
\begin{bmatrix}     
    1 & 0 & \dots & 0 \\
    0 & 1 & \dots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & \dots  & 1 \\
\end{bmatrix}_{n \times n}</math>同樣的，可以考慮任何環 <math>R</math> 的矩陣環 <math>\mathbf{M}_{n}(R)</math> 。矩陣環也是典型的非交換環。
* 如果集合 <math>R</math> 只有一個元素，那 <math>R</math> 只可能定義出唯一的一種環結構——'''{{Link-en|零環|Zero ring}}'''{{NoteTag|或稱'''平凡環'''（ Trivial ring ）}}（ Zero ring ）。

== 基本性質 ==

* 零元素是唯一的
* 零乘以{{NoteTag|不論是乘在左邊還是乘在右邊}}任何東西都是零
* 乘法單位元是唯一的
* 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
* 多個環元素的分配律：<math display="block">\left(\sum_{i = 1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j = 1}^{m}b_j\right) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_ib_j</math>
* 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：<math display="block">na := \underbrace{a + a + \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad (-n)a := \underbrace{(-a) + (-a) + \cdots (-a)}_{n \text{ 次}} \qquad 0a := 0_R</math>這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如：
** <math>n(ab) = (na)b = a(nb)</math> 
** <math>(nm)a = n(ma) = m(na)</math>
** <math>n(a+b) = na + nb</math> 
** <math>(n+m)a = na + ma</math>
: 而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以{{NoteTag|這邊暫定 <math>a</math> 有成法反元素。如果沒有乘法反元素，那麼有關負數次方的結果不一定成立。}}定義冪運算：<math display="block">a^n := \underbrace{a \times a \times \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad a^{-n} := \underbrace{a^{-1} \times a^{-1} \times \cdots a^{-1}}_{n \text{ 次}} \qquad a^{0} := 1_R</math>
* 二項式展開——如果 <math>ab = ba</math> ，那麼它們總和的次方可以這樣計算：<math display="block">(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} + \cdots + \binom{n}{n-2}a^{2}b^{n-2} + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n = \sum_{i+j = n}\frac{n!}{(i!)(j!)}a^ib^j</math>這可以推廣到多個元素 <math>a_1,a_2,\dots,a_m</math> 總和的次方'''——'''如果任兩個元素的 <math>a_i</math> 和 <math>a_j</math> 的乘法都可以交換（即 <math>a_ia_j = a_ja_i</math> ），那麼：<math display="block">(a_1 + a_2 + \cdots + a_m)^n = \sum_{i_1 + i_2 + \cdots + i_m = n}\frac{n!}{(i_1!)(i_2!)\cdots(i_n!)}a_{1}^{i_1}a_{2}^{i_2} \cdots a_{m}^{i_m}</math>

== 基本的相關概念 ==

=== 特殊的環元素 ===

在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環{{NoteTag|甚至是沒有單位元的環}}中都有定義，它們是經常被討論的對象：

* '''[[可逆元素|可逆元]]'''（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。
* '''[[零因子]]'''（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。
* [[幂零元|'''冪零元''']]（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。
* '''[[冪等|冪等元]]'''（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。

=== 環同態、核、像 ===
{{Main|环同态}}
在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 <math>R</math> 送往環 <math>S</math> 的'''環同態'''（ Ring homomorphism ）<math>f : R \to S</math> 簡單來說是一種「維持環結構{{NoteTag|另一種說法是不摧毀環結構。因為環同態確實會改變環的結構。}}」的映射；而具體來說，<math>f</math> 要具有以下三個性質：

* '''維持加法的結構'''——對所有的 <math>a, b \in R</math> ，都有：<math display="block">f(a+b) = f(a)+f(b)</math>
* '''維持乘法的結構'''——對所有的 <math>a, b \in R</math> ，都有：<math display="block">f(ab) = f(a)(b)</math>
* '''維持單位元的結構'''——也就是：<math display="block">f(1_{R}) = 1_{S}</math>

對一個環同態 <math>f</math> 來說，有以下兩個密切相關的概念：
* '''核'''（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：<math display="block">\mathrm{Ker}(f) := f^{-1}(0_{S}) = \{ a \in R \mid f(a) = 0_{S} \} \subseteq R</math>
* '''像'''（ Image ）——把元素都送過去後的結果：<math display="block">\mathrm{Im}(f) := f(R) = \{ f(a) \in S \mid a \in R \} \subseteq S</math>

=== 子環、（雙邊）理想、商環 ===
{{Main|理想 (环论)|商環|子環}}
給定一個環 <math>R</math> ，我們可以考慮它的：

* '''子環'''（ Subring ）——某個送往 <math>R</math> 的環同態在<math>R</math> 內的像。{{NoteTag|這個環同態實際上就是嵌入}}

* '''雙邊理想'''（ Two side ideal ）——某個定義在<math>R</math> 上的環同態的核。
* '''商環'''（ Quotient ）——（同構意義下）某個定義在<math>R</math> 上的環同態的像。{{NoteTag|同構定理}}

一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。

== 具有額外性質的環 ==
=== 交換環（ commutative ring ） ===
如果一個環 <math>R</math> 還額外滿足：
:'''乘法的[[交換律]]'''：對於所有 <math display="inline">a, b \in R</math>：
:<math display="block">a \times b = b \times a</math> 
則稱 <math>R</math> 是一個'''交換環'''。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類：

* [[整环|'''整環''']]（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。
* [[唯一分解環|'''唯一分解整環''']]（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。
* [[主理想環|'''主理想整環''']]（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。
* '''[[歐幾里得整環]]'''（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾里得演算法（輾轉相除法）的整環。
* '''[[域 (数学)|體]]'''（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。
* '''[[代數閉體]]'''（ Algebraically closed field ）：所有多項式{{NoteTag|不包括常數多項式}}都有根的體。

=== 非交換環 ===
所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：

* '''除環'''（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。
* '''單環'''（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。

== 從已知的環建構出其他環的方式 ==

=== 直積 ===
{{Main|{{link-en|環的直積|Product of rings}}}}

給定數個環 <math>R_1, R_2, \dots, R_n</math> ，可以考慮這些環作為集合的[[笛卡儿积|笛卡爾積]]：

<math display="block">\prod_{i = 1}^{n} R_i := R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n = \{ (a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 ,\dots, a_n \in R_n \}</math>可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法：

<math display="block">(a_1,a_2,\dots,a_n) + (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 + b_1,a_2 + b_2, \dots,a_n + b_n)</math><math display="block"> (a_1,a_2,\dots,a_n) \times (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 \times b_1,a_2 \times b_2, \dots,a_n \times b_n)</math>這使得<math> \prod_{i = 1}^{n} R_i</math>構成一個環。稱為 <math>R_1, R_2, \dots, R_n</math> 的'''直積'''（ Direct product ）；它的法單位元是 <math>(0_{R_1},0_{R_2},\dots,0_{R_n})</math> 乘法單位元是 <math>(1_{R_1},1_{R_2},\dots,1_{R_n})</math> 

這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。

=== 多項式環 ===
{{Main|多项式环}}
給定一個環 <math>R</math> ，可以考慮以這個環作為係數的多項式：<math display="block">R[x] := \left\{ \sum_{i=0}^{n}a_ix^i ~\Bigg|~ a_i \in R, n = 1,2,3,\dots \right\}</math>可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：<math display="block">\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) + \left( \sum_{i=0}^{n}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n}(a_i + b_i)x^i</math><math display="block">\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) \times \left( \sum_{i=0}^{m}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n+m}\left( \sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j} \right)x^i</math>在這樣的運算規則下， <math>R[x]</math> 被稱為是 <math>R</math> 的'''[[多项式环|多項式環]]'''；它的加法單位元以及乘法單位元與 <math>R</math> 相同。

=== 矩陣環 ===
{{Main|矩阵环|方块矩阵}}給定一個環 <math>R</math> ，可以考慮以這個環作為係數、大小為 <math>n \times n</math> 的矩陣：

<math display="block">\mathbf{M}_{n}(R) := \left\{ 
\begin{bmatrix}     
    a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
    a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} ~\bigg|~ a_{i,j} \in R, \quad i,j = 1,2,\dots,n\right\} </math>同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法：

<math display="block">\begin{bmatrix}     
    a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
    a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} 
+
\begin{bmatrix}     
    b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\
    b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} 
:= 
\begin{bmatrix}     
    a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\
    a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n,1} + b_{n,1} & a_{n,2} + b_{n,2} & \dots & a_{n,n} + b_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}  </math><math display="block">\begin{bmatrix}     
    a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
    a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} 
\times 
\begin{bmatrix}     
    b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\
    b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} 
:= 
\begin{bmatrix}     
    \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n} \\
    \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}  </math>那麼 <math>\mathbf{M}_{n}(R)  </math> 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 ：<math display="block">\mathbf{0}_{n} := 
\begin{bmatrix}     
    0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\
    0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R}\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0_{R} & 0_{R} & \dots  & 0_{R} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}</math>乘法單位元則是單位矩陣 ：<math display="block">\mathrm{I}_{n} := 
\begin{bmatrix}     
    1_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\
    0_{R} & 1_{R} & \dots & 0_{R} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0_{R} & 0_{R} & \dots  & 1_{R} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}</math>同樣的，可以考慮任何環 <math>R</math> 的矩陣環 <math>\mathbf{M}_{n}(R)</math> 。矩陣環也是典型的非交換環。

=== 局部化與分式體 ===
{{Main|環的局部化}}局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。

更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。

== 交換環與代數幾何的關係 ==
交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和[[代數幾何]]有著深遠的關聯性，體現在交換環[[範疇 (數學)|範疇]] <math>\mathbf{CRing}</math> 和[[仿射概形]][[範疇 (數學)|範疇]] <math>\mathbf{AffSch}</math> 有著如下對偶性：

<math display="block">\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \cong \mathbf{AffSch}</math>

這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。

==參見==

* [[模]]
* [[理想]]
* [[代數]]
* [[偽環]]

==備註==

{{noteFoot}}

==引用==

{{reflist}}

== 參考文獻 ==

* {{cite book | author = 康明昌 | ref = harv | title = 《近世代數》 | year = 2000 | publisher = 聯經 | isbn = 9789570821550 | language = zh | url = https://www.linkingbooks.com.tw/LNB/book/Book.aspx?ID=33015-03&vs=pc | access-date = 2024-05-21 | archive-date = 2024-05-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240521142927/https://www.linkingbooks.com.tw/LNB/book/Book.aspx?ID=33015-03&vs=pc | dead-url = no }}
* {{Cite journal 
|last=Noether |first=Emmy | ref = harv
|title=Idealtheorie in Ringbereichen |date=1921 
|journal=Mathematische Annalen |url=http://link.springer.com/10.1007/BF01464225|language=de
|volume=83 |issue=1-2 |doi=10.1007/BF01464225 |issn=0025-5831| authorlink=埃米·諾特
}}
* {{Cite book
|last=Kemper|first=Gregor| ref = harv
|title=A Course in Commutative Algebra|date=2011|chapter=Hilbert's Nullstellensatz
|publisher=Springer Berlin Heidelberg|url=https://link.springer.com/10.1007/978-3-642-03545-6_2|isbn=978-3-642-03544-9|language=en
|location=Berlin, Heidelberg|volume=256|doi=10.1007/978-3-642-03545-6_2
}}

=== 要求「環」要有乘法單位元的教科書 ===

* {{cite book
| last = Artin | first = Michael | ref = harv
| title=''Algebra'' | url = https://archive.org/details/algebra0000arti_e8q5_2edi | year = 2011
| publisher=Pearson Education, Prentice Hall | isbn=978-0-13-241377-0 | language=en 
| authorlink=麥可·阿廷 | location=Boston, Mass. Munich | edition=2ed
}}

* {{cite book
| last = Atiyah | first = Michael Francis | last2 = MacDonald | first2 = Ian Grant | ref = harv
| title = ''Introduction To Commutative Algebra'' | year = 1994 
| publisher = Westview Press | isbn = 978-0201407518 | language = en 
| authorlink = 迈克尔·阿蒂亚 | authorlink2 = :en:Ian G. Macdonald
}}
* {{Cite book
|last=Bourbaki|first = Nicolas| ref = harv
|date=2007|title=Algèbre: Chapitres 1 à 3
|publisher=Springer Berlin Heidelberg|url=http://link.springer.com/10.1007/978-3-540-33850-5|isbn=978-3-540-33849-9|language=fr
|authorlink=尼古拉·布尔巴基|doi=10.1007/978-3-540-33850-5|location=Berlin, Heidelberg
}}
* {{cite book
| last = Cohn | first = Paul Moritz | ref = harv
| title = ''Introduction to Ring Theory'' | year = 2000
| publisher = Springer | isbn = 978-1-4471-0475-9 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4471-0475-9
| authorlink = 保羅·孔恩
}}
* {{cite book
| last = Eisenbud | first = David | ref = harv
| title = ''Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry'' | year = 1995
| publisher = Springer | isbn = 978-1-4612-5350-1 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1
| authorlink = :en:David Eisenbud
}}
* {{cite book
| last = Farb | first = Benson | last2 = Dennis | first2 = R. Keith | ref = harv
| title = ''Noncommutative Algebra'' | year = 1993 
| publisher = Springer | isbn = 978-0-387-94057-1 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0889-1 
| authorlink=:en:Benson Farb
}}
* {{cite book | last = Jacobson | first = Nathan | ref = harv | title = ''Basic Algebra I'' | year = 2009 | publisher = Dover | isbn = 978-0486471891 | language = en | url = https://store.doverpublications.com/products/9780486471891 | edition = 第二版 | authorlink = 納森·雅各布森 | access-date = 2024-05-21 | archive-date = 2024-05-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240521133934/https://store.doverpublications.com/products/9780486471891 | dead-url = no }}
* {{cite book
| last = Lang | first = Serge | ref = harv
| title = ''Algebra'' | year = 2002
| publisher = Springer | isbn = 978-0-387-95385-4 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0
| authorlink = 塞爾日·蘭 | edition = 第三版 
}}
* {{cite book
| last = Lang | first = Serge | ref = harv
| title = ''Undergraduate Algebra'' | year = 2005
| publisher = Springer | isbn = 978-0-387-27475-1 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/0-387-27475-8
| authorlink = 塞爾日·蘭 | edition = 第三版
}}

=== 不要求「環」要有乘法單位元的教科書 ===

* {{cite book
| last = Adhikari | first = Mahima Ranjan | last2 = Adhikari | first2 = Avishek | ref = harv
|title=''Basic Modern Algebra with Applications''|year=2014 
|publisher=Springer|isbn=978-81-322-1599-8|language=en| url = https://doi.org/10.1007/978-81-322-1599-8
}}
* {{cite book | last = Burris | first = Stanley | last2 = Sankappanavar | first2 = Hanamantagouda P. | ref = harv | title = ''A Course in Universal Algebra'' | year = 1981 | publisher = Springer | isbn = 978-1-4613-8132-7 | language = en | url = https://link.springer.com/book/9781461381327 | access-date = 2024-05-21 | archive-date = 2022-01-05 | archive-url = https://web.archive.org/web/20220105172535/https://link.springer.com/book/9781461381327 | dead-url = no }}
* {{cite book | last = Dummit | first = David Steven | last2 = Foote | first2 = Richard Martin | ref = harv | title = ''Abstract Algebra'' | year = 2003 | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 9780471433347 | language = en | url = https://www.wiley.com/en-gb/Abstract+Algebra%2C+3rd+Edition-p-9780471433347 | edition = 第三版 | access-date = 2024-05-21 | archive-date = 2024-07-26 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240726210759/https://www.wiley.com/en-gb/Abstract+Algebra%2C+3rd+Edition-p-9780471433347 | dead-url = no }}
* {{cite book | last = Durbin | first = John Riley | ref = harv | title = ''Modern Algebra: An Introduction'' | year = 2003 | publisher = Wiley | isbn = 978-0470384435 | language = en | url = https://www.wiley.com/en-us/Modern+Algebra%3A+An+Introduction%2C+6th+Edition-p-9780470384435 | edition = 第六版 | access-date = 2024-05-21 | archive-date = 2023-01-29 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230129235033/https://www.wiley.com/en-us/Modern+Algebra%3A+An+Introduction%2C+6th+Edition-p-9780470384435 | dead-url = no }}
* {{cite book
| last = Eie | first = Minking （余文卿）| last2 = Chang | first2 = Shou-Te （張守德） |ref=harv
|title=''A Course on Abstract Algebra''|year=2018
|publisher=World Scientific|isbn=9780471433347|language=en|url = https://doi.org/10.1142/10700
|edition=第二版
}}
* {{cite book | last = Fraleigh | first = John B. | ref = harv | title = ''A First Course in Abstract Algebra'' | year = 2014 | publisher = Pearson | isbn = 9781292024967 | language = en | url = https://www.pearson.com/en-us/subject-catalog/p/first-course-in-abstract-algebra-a/P200000006181/9780135859759 | edition = 第七版 | access-date = 2024-05-21 | archive-date = 2024-05-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240521142920/https://www.pearson.com/en-us/subject-catalog/p/first-course-in-abstract-algebra-a/P200000006181/9780135859759 | dead-url = no }}
* {{cite book
| last = Gallian | first = Joseph | ref = harv
|title=''Contemporary Abstract Algebra''|year=2012
|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1133599708|edition=第八版|language=en|url = https://doi.org/10.1201/9781003142331 
|authorlink = :en:Joseph Gallian
}}
* {{cite book
| last = Hungerford | first = Thomas William | ref = harv
|title=''Algebra''|year=1974
|publisher=Springer|isbn=978-1-4612-6101-8|language=en|url = https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6101-8
|edition=第三版|authorlink = :en:Thomas W. Hungerford
}}
* {{cite book | last = Herstein | first = Israel Nathan | ref = harv | title = ''Topics in Algebra'' | year = 1991 | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 978-0471010906 | language = en | url = https://www.wiley.com/en-us/Topics+in+Algebra%2C+2nd+Edition-p-9780471010906 | edition = 第二版 | authorlink = 伊斯雷爾·內森·赫斯坦 | access-date = 2024-05-21 | archive-date = 2024-05-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240521001317/https://www.wiley.com/en-us/Topics+in+Algebra%2C+2nd+Edition-p-9780471010906 | dead-url = no }}
* {{cite book
| last = Lal | first = Ramji | ref = harv
|title=''Algebra 1: Groups, Rings, Fields and Arithmetic''|year=2017
|publisher=Springer|isbn=978-981-10-4253-9|language=en|url = https://doi.org/10.1007/978-981-10-4253-9
}}
* {{cite book
| last = Wallace | first = David Alexander Ross | ref = harv
| title = ''Groups, Rings and Fields'' | year = 1998
| publisher = Springer | isbn = 978-1-4471-0425-4 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4471-0425-4
}}

== 外部連結 ==

* [https://ringtheory.herokuapp.com/ Database of Ring Theory] {{Wayback|url=https://ringtheory.herokuapp.com/ |date=20240913070248 }} 一個紀錄了大量環的性質的資料庫
* 《[[數學百科全書]]》對環的[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ring 定義] {{Wayback|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ring |date=20230101135941 }}
* [[MathWorld]] 對環的[https://mathworld.wolfram.com/Ring.html 定義] {{Wayback|url=https://mathworld.wolfram.com/Ring.html |date=20240121142059 }}
* {{link-en|nLab|nLab}} 對環的[https://ncatlab.org/nlab/show/ring 定義] {{Wayback|url=https://ncatlab.org/nlab/show/ring |date=20240917165232 }}


[[Category:環論|*]]
[[Category:代數結構|H]]