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{{NoteTA
|G1=物理學
}}
{{量子力学}}
'''狄拉克符号'''或'''狄拉克標記'''（{{lang-en|Dirac notation}}）是[[量子力学]]中广泛应用于描述[[量子态]]的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个[[量子态]]都被描述为[[希尔伯特空间]]中的[[態向量]]，定义为'''右矢'''（'''ket'''）：<math>|\psi\rangle</math>；每一个右矢的[[共軛轉置]]定义为其'''左矢'''（'''bra'''）；换一种说法，右矢的[[厄米共軛|厄米共轭]]（即取[[轉置|转置]]运算加上[[共轭复数]]运算），就可以得到左矢。

此標記法為[[狄拉克]]於1939年将「bracket」（括号）这个词拆开后所造的。<ref name=Dirac>{{cite news
|author=PAM Dirac
|title=A new notation for quantum mechanics
|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
|year=1939
|volume=35
|issue=3
|pages=416–418
|doi=10.1017/S0305004100021162
|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2031476
|accessdate=2014-01-31
|archive-date=2013-12-03
|archive-url=https://web.archive.org/web/20131203033616/http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2031476
|dead-url=no
}}</ref>在中國方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。

== 矩陣表示 ==
右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶[[矩阵]]表示为：

:<math>|\psi\rangle = \begin{pmatrix}
                     \psi_1 \\
                     \psi_2 \\
                     \psi_3 \\
                     \psi_4 \\  
                     \vdots \\
                     \psi_N \\
                     \end{pmatrix}</math>

:<math>\langle\psi| = \begin{pmatrix}\psi_1^*,& \psi_2^*,& \psi_3^*,& \psi_4^*,& \cdots ,& \psi_N^* \end{pmatrix}</math>

不同的两个态矢量的[[内积]]则由一个括号来表示：<math>\langle\phi|\psi\rangle</math>，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：<math>\langle e_i|e_j\rangle = \delta_{ij}</math> （<math>\delta_{ij}</math>为[[克罗内克函數]]）

相同的态矢量内积为：<math>\langle\psi|\psi\rangle = \sum_i |\psi_i|^2</math>。

== 性質 ==
因為每個右矢是[[复数 (数学)|複]][[希爾伯特空間]]中的一個[[向量空間|向量]]，而每個右矢-左矢關係是[[內積]]，而直接地可以得到如下的操作方式：

* 給定任何左矢<math>\langle\phi|</math>、右矢<math>|\psi_1\rangle</math>以及<math>|\psi_2\rangle</math>，還有[[复数 (数学)|複數]]''c''<sub>1</sub>及''c''<sub>2</sub>，則既然左矢是線性[[泛函]]，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，
::<math>\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle</math>。

* 給定任何右矢<math>|\psi\rangle</math>、左矢<math>\langle\phi_1|</math>以及<math>\langle\phi_2|</math>，還有複數''c''<sub>1</sub>及''c''<sub>2</sub>，則既然右矢是線性[[泛函]]，
::<math>\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle</math>。

* 給定任何右矢<math>|\psi_1\rangle</math>及<math>|\psi_2\rangle</math>，還有複數''c''<sub>1</sub>及''c''<sub>2</sub>，根據內積的性質（其中c*代表c的[[複數共軛]]），
::<math>
c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle</math>與<math> c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|
</math>對偶。

* 給定任何左矢<math>\langle\phi|</math>及右矢<math>|\psi\rangle</math>，內積的一個[[公理]]性質指出
::<math>\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*</math>。

* 給定任何算符<math>X</math>、左矢<math>\langle\phi|</math>及右矢<math>|\psi\rangle</math>，它們之間的合法相乘滿足[[乘法結合律|乘法結合公理]]，例如，<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakukrai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010 | isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|16-17}}
::<math>(|\omega\rang\langle\phi|)\ |\psi\rangle = |\omega\rang\ (\langle\phi|\psi\rangle)</math>、
::<math>\lang\phi|\ (X|\psi\rang) = (\lang\phi| X)\ |\psi\rang </math>。

== 相關條目 ==
{{Portal box|物理学|数学}}
* [[量子態]]
* [[内积空间]]
* [[角動量圖]]

==參考文獻==
{{reflist}}

{{Quantum mechanics topics}}

[[Category:信息论|D]]
[[Category:量子信息科学|D]]
[[Category:符号]]
[[Category:保罗·狄拉克]]