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{{dablink|其[[模形式]]参见[[戴德金η函數]]。}}

[[File:Complex Dirichlet eta function.jpg|right|thumb|300px|[[复平面]]上的'''狄利克雷η函数''' <math> \eta(s) </math> 。用颜色来编码点 <math> s </math>的值<math> \eta(s) </math> ，强烈的色彩表示接近零的值，色度值表示值的[[复数 (数学)#极坐标形式|辐角]]。]]

在[[数学]]的[[解析数论]]领域，'''狄利克雷η函数'''定义为：

:<math>\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)</math>

其中 &zeta; 是[[波恩哈德·黎曼|黎曼]][[黎曼ζ函數|ζ函數]]。但η函数也用常来定义黎曼ζ函數。
对实部为[[正数]]的[[复数 (数学)|复数]]''s''，也可定义为[[狄利克雷级数]]表达式形式:

:<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.</math>

表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个[[发散级数|阿贝尔和]]，可定义为一个[[整函数]]，并由此可知ζ函數是一个[[极点 (复分析)|极点]]在''s'' = 1的单极点[[亚纯函数]]。

等价定义为：
:<math>\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^s}{\exp(x)+1}\frac{dx}{x}</math>
定义在复平面上实部为正的区域，该定义形式是一个[[Mellin变换]]。

[[G·H·哈代]]给出一个[[函数方程]]的简单证明：
:<math>\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1).</math>
因此能将其扩展到整个复数域。

==数值算法==
大多数[[交错级数]]的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单，合理的方法是应用交错序列的[[欧拉变换]]，得到：

:<math>\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} 
\sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}. </math>
注意第二个求和里面是前向差分。

=== Borwein方法 ===
[[彼得·波温]]（Peter Borwein）使用包含[[切比雪夫多项式]]的近似值用来得到η函数的高效求值方法。

如果：

:<math>d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}</math>

则：

:<math>\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),</math>

当<math>\Re(s) \ge \frac{1}{2} </math>时，误差项 &gamma;<sub>n</sub>范围： 

:<math>|\gamma_n(s)| \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|\Im(s)|)\exp(\frac{\pi}{2}|\Im(s)|).</math>

误差分布中的系数<math>3+\sqrt{8}\approx 5.8</math>显示[[Borwein级数]]随着''n''的增加而很快集中于一点。<!---？？？？不太懂。 --->

==特殊值==
{{further| Zeta constant }}
*&eta;(0) = <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, [[格兰迪级数]]（ 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·）的阿贝尔和。
*&eta;(−1) = <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, [[1-2+3-4+…]]的阿贝尔和。
*对于大于1的整数''k'' ，如果''B''<sub>''k''</sub>是第''k''个[[伯努利数]]，那么
*:<math>\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.</math>

同样的:

:<math> \!\ \eta(1) = \ln2 </math>, 这是交错[[调和级数]]
:<math>\eta(2) = {\pi^2 \over 12} </math>
:<math>\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720} </math>
:<math>\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240} </math>
:<math>\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600} </math>
:<math>\eta(10) = {{511\pi^{10}} \over 6842880} </math>
:<math>\eta(12) = {{1414477\pi^{12}} \over {1307674368000}} </math>

自变量为正偶数的函数生成式为：

<math>\eta(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} \over {(2n)!}}. </math>

== 参考资料 ==
* Borwein, P., ''[http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P155.pdf An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function] {{Wayback|url=http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P155.pdf |date=20110726090927 }}'', Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34. 
* Xavier Gourdon and Pascal Sebah, ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function] {{Wayback|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf |date=20081006080602 }}'', Numbers, constants and computation (2003)
* Borwein, P., [http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/] {{Wayback|url=http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/ |date=20090225212338 }}
*{{cite book |last=Knopp |first=Konrad |authorlink=Konrad Knopp |title=Theory and Application of Infinite Series |url=https://archive.org/details/theoryapplicatio0000knop_w8t7 |year=1990 |origyear=1922 |publisher=Dover |id=ISBN 0-486-66165-2}}

[[Category:特殊函数|D]]