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'''狀態轉移矩陣'''（state-transition matrix）是[[控制理論]]中的[[矩陣]]，是時間<math>t</math>和初始時間<math>t_0</math>的函數，可以將時間<math>t_0</math>的狀態向量<math>x</math>和此矩陣相乘，得到時間<math>t</math>時的狀態向量<math>x</math>。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解。

==線性系統的解==
狀態轉移矩陣用來找以下形式[[線性系統]]在[[状态空间]]下的解：
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)  ,    \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 </math>,
其中<math>\mathbf{x}(t)</math>為系統狀態，<math>\mathbf{u}(t)</math>為輸入信號，而<math>\mathbf{x}_0</math>為時間<math>t_0</math>時的初始條件。利用狀態轉移矩陣<math>\mathbf{\Phi}(t, \tau)</math>，其解如下<ref name=baaschl>{{cite journal|last1=Baake|first1=Michael|last2=Schlaegel|first2=Ulrike|title=The Peano Baker Series|journal=Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics|year=2011|volume=275|pages=155–159}}</ref><ref name=rugh>{{cite book|last1=Rugh|first1=Wilson|title=Linear System Theory|url=https://archive.org/details/linearsystemtheo0000rugh|date=1996|publisher=Prentice Hall|location=Upper Saddle River, NJ | isbn = 0-13-441205-2}}</ref>：
: <math>\mathbf{x}(t)= \mathbf{\Phi} (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau</math>

第一項為零輸入響應（zero-input response），第二項為零狀態響應（zero-state response）。
==Peano-Baker級數解==
更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得
:<math> \mathbf{\Phi}(t,\tau) = \mathbf{I} + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\int_\tau^{\sigma_2}\mathbf{A}(\sigma_3)\,d\sigma_3\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + ...</math>
其中<math>\mathbf{I}</math>為[[單位矩陣]]。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解，而且是絕對收斂<ref name=rugh />。

==其他性質==
狀態轉移矩陣<math>\mathbf{\Phi}(t, \tau)</math>可以表示為下式
: <math>\mathbf{\Phi}(t, \tau)\equiv\mathbf{U}(t)\mathbf{U}^{-1}(\tau)</math>
其中<math>\mathbf{U}(t)</math>為{{le|基礎矩陣|Fundamental matrix (linear differential equation)}}，滿足下式
: <math>\dot{\mathbf{U}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{U}(t)</math>
狀態轉移矩陣是<math>n \times n</math>的矩陣，是會映射到本身的线性映射。若<math>\mathbf{u}(t)=0</math>，再給定任意時間<math>\tau</math>下的狀態<math>\mathbf{x}(\tau)</math>，另一個時間<math>t</math>的狀態可由以下映射求得
:<math>\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{x}(\tau)</math>

狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係：

:<math>\frac{\partial \mathbf{\Phi}(t, t_0)}{\partial t} = \mathbf{A}(t)\mathbf{\Phi}(t, t_0)</math> and

:<math>\mathbf{\Phi}(\tau, \tau) = I</math>對於所有的<math>\tau</math>，其中<math>I</math>為單位矩陣<ref>{{cite book|first=Roger W.|last=Brockett|title=Finite Dimensional Linear Systems|url=https://archive.org/details/finitedimensiona0000broc|publisher=John Wiley & Sons|year=1970|isbn=978-0-471-10585-5}}</ref>。

<math> \mathbf{\Phi}</math>也有以下的性質：

:{| class="wikitable"
|-
|1.||<math>\mathbf{\Phi}(t_2, t_1)\mathbf{\Phi}(t_1, t_0) = \mathbf{\Phi}(t_2, t_0)</math>
|-
|2.||<math>\mathbf{\Phi}^{-1}(t, \tau) = \mathbf{ \Phi}(\tau, t)</math>
|-
|3.||<math>\mathbf{\Phi}^{-1}(t, \tau)\mathbf{\Phi}(t, \tau) = I</math>
|-
|4.||<math>\frac{d\mathbf{\Phi}(t, t_0)}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{\Phi}(t, t_0)</math>
|}

若系統是[[时不变系统]]，可以將<math> \mathbf{\Phi}</math>定義為

:<math>\mathbf{\Phi}(t, t_0) = e^{\mathbf{A}(t - t_0)}</math>

在時變系統的例子中，可能有許多不同的函數滿足上述條件，而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前，需要先確定其狀態轉移矩陣。

==註解==

* {{cite news
 | author = Baake, M.
 | author2 = Schlaegel, U.
 | year = 2011
 | title = The Peano Baker Series
 | journal = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
 | volume = 275 
 | pages = 155–159
}}
* {{cite book
 | author = Brogan, W.L.
 | year = 1991
 | title = Modern Control Theory
 | url = https://archive.org/details/moderncontrolthe00brog
 | publisher = Prentice Hall
 | isbn = 0-13-589763-7
}}

==參考資料==
{{reflist}}

== 相關條目 ==
* {{le|Magnus展開|Magnus expansion}}
[[Category:控制理論]]