查看“︁特殊酉群”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
{{Groups}}{{李群}}
在[[数学]]中，<math>n</math> 阶'''特殊酉群'''（{{lang-en|special unitary group}}），记作 <math>\operatorname{SU}(n)</math>，是行列式为 1 的 <math>n\times n</math> [[酉矩阵]]组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是[[矩阵乘法]]。特殊酉群是由 <math>n\times n</math> 酉矩阵组成的[[酉群]] <math>\operatorname{U}(n)</math> 的一个[[子群]]，酉群又是[[一般线性群]] <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C}</math>) 的一个子群。

群 <math>\operatorname{SU}(n)</math> 在[[粒子物理]]中[[标准模型]]中有广泛的应用，特别是 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 在[[电弱相互作用]]与 <math>\operatorname{SU}(3)</math> 在[[量子色动力学]]中。

最简单的情形 <math>\operatorname{SU}(1)</math>，是[[平凡群]]，只有一个元素。群 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 同构于[[範數]]为 <math>1</math> 的[[四元数]]，从而[[微分同胚]]于[[三维球面]]。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个[[满射|满]][[同态]]从 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 到旋转群 <math>\operatorname{SO}(3)</math>，其[[核 (代数)|核]]为 <math>\{+I, -I\}</math>。

==性质==

特殊酉群 SU(''n'') 是一个 ''n''<sup>2</sup>-1 维实[[矩阵群|矩阵李群]]。在拓扑上是[[紧空间|紧]]及[[单连通]]的。在代数上，它是一个[[单李群]]（意为它的[[李代数]]是单的，见下）。SU(''n'') 的[[群的中心|中心]]同构于[[循环群]] '''Z'''<sub>''n''</sub>。当 ''n'' ≥ 3，它的[[外自同构群]]是 '''Z'''<sub>2</sub>，而 SU(2) 的外自同构群是[[平凡群]]。

SU(''n'') 代数由 ''n''<sup>2</sup> 个算子生成，满足交换关系（对 ''i'', ''j'', ''k'', ''l'' = 1, 2, ..., n）：

:<math>\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}</math>

另外，算子

:<math>\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}</math>

满足

:<math>\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0</math>

这意味着 SU(''n'') 独立的生成元个数是 ''n''<sup>2</sup>-1<ref>R.R. Puri, ''Mathematical Methods of Quantum Optics'', Springer, 2001. </ref>。

==生成元==
一般地，SU(''n'') 的[[无穷小生成元]]（infinitesimal generator） ''T''，由一个无[[迹]][[埃尔米特矩阵]][[群表示|表示]]。即

:*<math>\operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,</math>
以及
:*<math> T_a = T_a^\dagger .\,</math>

===基本表示===
在定义或基本表示中，由 <math>n\times n</math> 矩阵表示的生成元是：
:*<math>T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,</math>
:这里系数 <math>f</math> 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 <math>d</math> 对所有指标都是对称的。
从而
:*<math>\left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,</math>
:*<math>\left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,</math> 

我们也有
:*<math>\sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,</math>

作为一个正规化约定。

===伴随表示===
在[[伴随表示]]中，生成元表示由 <math>(n^2-1) \times (n^2-1)</math> 矩阵表示，其元素由结构常数定义：
::*<math> (T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,</math>

== SU(2) ==
<math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math> 一个一般矩阵元素形如

:<math>U = 
\begin{pmatrix}
\alpha&-\overline{\beta}\\
\beta&\overline{\alpha}
\end{pmatrix}</math>

这里 <math>\alpha,\beta\in\mathbb{C}</math> 使得 <math>|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>。我们考虑如下映射 <math>\varphi : \mathbb{C}^2 \to \operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math>，（这里 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 表示 2×2 复矩阵集合），定义为

:<math>
\varphi(\alpha,\beta) =
\begin{pmatrix}
\alpha&-\overline{\beta}\\
\beta&\overline{\alpha}
\end{pmatrix}.
</math>

考虑到 <math>\mathbb{C}^2</math> [[微分同胚]]于 <math>\mathbb{R}^4</math> 和 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 同胚于 <math>\mathbb{R}^8</math>，我们可看到 <math>\varphi</math> 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 <math>\varphi</math> 限制在[[三维球面]]上，记作 <math>S^3</math>，我们可发现这是三维球面到 <math>\operatorname{M}(2,\mathbb{C})</math> 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 <math>\varphi(S^3) = \operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math>，作为一个流形微分同胚于 <math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math>，使 <math>\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})</math> 成为一个紧[[连通空间|连通]][[李群]]。

现在考虑[[李代数]] <math>\mathfrak{su}_2(\mathbb{C})</math>，一个一般元素形如

:<math>
U' = 
\begin{pmatrix}
ix & -\overline{\beta}\\
\beta & -ix
\end{pmatrix}
</math>

这里 <math>x \in \mathbb{R}</math> 以及 <math>\beta \in \mathbb{C}</math>。易验证这样形式的矩阵的[[迹]]是零并为[[斜埃尔米特矩阵|反埃尔米特]]的。从而李代数由如下矩阵生成

:<math>
u_1 = \begin{pmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_2 = \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_3 = \begin{pmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{pmatrix}
</math>

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 <math>u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1</math> 和 <math>u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3</math>。从而交换子括号由

:<math>
[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1.
</math>

确定。上述生成元与[[泡利矩阵]]有关，<math>u_1 = i\sigma_1</math>, <math>u_2 = -i\sigma_2</math> 及 <math>u_3 = i\sigma_3</math>。

==SU(3)==
SU(3) 的生成元 ''T''，在定义表示中为
::<math>T_a = \frac{\lambda_a}\sqrt{2} .\,</math>
这里 <math>\lambda \,</math> 为[[盖尔曼矩阵]]，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

:{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0"
|<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|-
|<math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|-
|<math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}</math>
|
|}

注意它们都是无[[迹]][[埃尔米特矩阵]]。

它们服从关系
:*<math>\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,</math>
:这里 ''f'' 是结构常数，如上所定义，它们的值为
::<math>f^{123} = 1 \,</math>
::<math>f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,</math>
::<math>f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,</math>

''d'' 的取值：
::<math>d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,</math>
::<math>d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,</math>
::<math>d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,</math>

==李代数==

<math>\mathrm{SU}(n)</math> 对应的[[李代数]]记作 <math>\mathfrak{su}(n)</math>。它的标准数学表示由无迹[[反埃尔米特]] <math>n \times n</math> 复矩阵组成，以通常[[交换子]]为[[李括号]]。[[粒子物理]]学家通常增加一个因子 <math>i</math>，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 <math>\mathfrak{su}(n)</math> 是 <math>\mathbb{R}</math> 上一个李代数。

例如，下列[[量子力学]]中使用的矩阵组成 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 在 <math>\mathbb{R}</math> 上的一组[[基 (线性代数)|基]]：
:<math>i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}</math>
:<math>i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math>
:<math>i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}</math> 
（这里 <math>i</math> 是[[虚数单位]]。）

这个表示经常用于[[量子力学]]（参见[[泡利矩阵]]以及[[盖尔曼矩阵]]）表示[[基本粒子]]比如[[电子]]的自旋。它们也作为我们三维空间[[量子相对论]]描述中的[[单位向量]]。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元[[反交换]]。与[[单位矩阵]]（乘以 <math>i</math>）一起
:<math> i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}</math>
它们也是 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-[[旋量]]；或在相对论[[狄拉克方程|狄拉克理论]]中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是[[克利福德代数]]。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 <math>\mathrm{Cl}_3</math>，而在交换子括号下生成李代数 <math>\mathfrak{su}(2)</math>。

回到一般的 <math>\mathrm{SU}(n)</math>：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹[[对角矩阵|对角]] <math>n \times n</math> 矩阵[[子空间]]组成一个 <math>n - 1</math> 维[[嘉当子代数]]。

将这个李代数[[复化]]，从而现在允许任何无迹 <math>n \times n</math> 矩阵。[[权 (表示论)|权]][[本征向量]]是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 <math>\mathrm{h}</math> 只是 <math>n - 1</math> 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 <math>i</math> 个基向量是在第 <math>i</math> 个对角元素为 <math>1</math> 而在其它处为零的矩阵。则权由 <math>n</math> 个坐标给出，而且在所有 <math>n</math> 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故 <math>\mathrm{SU}(n)</math> 的[[秩 (线性代数)|秩]]是 <math>n - 1</math>，它的[[邓肯图]]由 <math>A_{n - 1}</math> 给出，有 <math>n - 1</math> 个[[顶点_(图论)|顶点]]的链。

它的[[根系 (数学)|根系]]由 <math>n(n - 1)</math> 个根组成，生成一个 <math>n - 1</math> [[欧几里得空间]]。这里，我们使用 <math>n</math> 冗余坐标而不是 <math>n - 1</math> 坐标来强调根系的对称（<math>n</math> 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 <math>n - 1</math> 维向量空间嵌入 <math>n</math>-维中。则根由所有 <math>n(n - 1)</math> [[置换]] <math>(1, -1, 0, \dots, 0)</math>。两段以前的构造解释了为什么。[[单根]]的一个选取为
:<math>(1, -1, 0, \dots, 0)</math>,
:<math>(0, 1, -1, \dots, 0)</math>,
:&hellip;,
:<math>(0, 0, 0, \dots, 1, -1)</math>.

它的[[嘉当矩阵]]是
:<math> \begin{pmatrix} 2 & -1 &  0 & \dots & 0 \\-1 &  2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 &  2 & \dots &  0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix} </math>.

它的[[外尔群]]或[[考克斯特群]]是[[对称群]] <math>S_n</math>，<math>(n - 1)</math>-[[单形]]的对称群。

==广义特殊酉群==
对一个[[體 (數學)|域]] ''F''，'''''F'' 上广义特殊酉群''' SU(''p'',''q'';''F'')，''F'' 上一个秩为 ''n''=''p''+''q'' 的[[向量空间]]上使得一个[[二次型的符号|符号]]为 (''p'',''q'') 的[[非退化形式|非退化]][[埃尔米特形式]]不变的所有行列式为 1 [[线性变换]]组成的群。这个么正群经常称为 ''F'' 上符号为 (''p'',''q'') 的特殊酉群。域 ''F'' 可以换为一个[[交换环]]，在这种情形向量空间换为[[自由模]]。

特别地，固定 GL(''n'','''R''') 中一个符号为 (''p'',''q'') 的[[埃尔米特矩阵]]，则所有

:<math>M \in SU(p,q,R)</math>

满足

:<math>M^{*} A M = A \,</math>

:<math>\det M = 1. \,</math>

经常可以见到记号 <math>SU_{p,q}</math> 略去环或域，在这种形式环或域是指 '''C'''，这给出一个典型[[李群]]。当 ''F''='''C''' 时，''A'' 的标准选取是
: <math>
  A
  =
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & i \\
    0 & I_{n-2} & 0 \\
    -i & 0 & 0
  \end{bmatrix}.
</math>
对某些维数 ''A'' 可能有更好的选择，当限制为 '''C''' 的一个子环时有更好表现。

===例子===
这类群的一个重要例子是[[皮卡模群]] SU(2,1;'''Z'''[''i''])，（射影地）作用在二度[[复双曲空间]]上，同样地 SL(2,'''Z''') （射影地）作用在二维实[[双曲空间]]上。2003年，[[Gábor Francsics]] 与[[彼得·拉克斯]]算出了这个群在 <math>HC^2</math> 上作用的[[基本域|基本-{域}-]]，参见 [https://web.archive.org/web/20090830220526/http://www.esi.ac.at/Preprint-shadows/esi1273.html]。

另一个例子是 SU(1,1;'''C''')，同构于 SL(2,'''R''')。

==重要子群==
在物理学中，特殊酉群用于表示[[玻色子|波色]]对称。在[[对称性破缺]]理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在[[大一统理论]]中 SU(n) 重要的子群是，对 ''p''>1，''n''-''p''>1：
:<math>
SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1).
</math>
为了完整性，还有[[正交群|正交]]与[[辛群|辛]]子群：
:<math>
SU(n) \supset O(n)
</math>
:<math>
SU(2n) \supset USp(2n).
</math>
因为 SU(''n'') 的[[李群的秩|秩]]是 ''n''-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(''n'') 是多个其它李群的子群：
:<math>
SO(2n) \supset SU(n)
</math>
:<math>
USp(2n) \supset SU(n)
</math>
:<math>
Spin(4) = SU(2) \times SU(2)
</math>（参见[[自旋群]]）
:<math>
E_6 \supset SU(6) 
</math>
:<math>
E_7 \supset SU(8)
</math>
:<math>
G_2 \supset SU(3)
</math>（关于 E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub> 与 G<sub>2</sub> 参见[[单李群]]）。
有同构 '''SU(4)=Spin(6)'''，'''SU(2)=Spin(3)=USp(2)''' 以及 '''U(1)=Spin(2)=SO(2)'''。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重[[覆叠群]]，这个关系在非相对论[[量子力学]] 2-[[旋量]]的旋转中起着重要的作用。

== 相关条目 ==
{{Portal|数学|Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg}}
* [[SU(2)的表示论]]
* [[射影特殊酉群]] ''PSU(n)''
*[[埃尔米特矩阵]]
*[[辛矩阵]]
*[[酉群]]
*[[酉算子]]
*[[矩阵分解]]

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Halzen, Francis; Martin, Alan | title=Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics | url=https://archive.org/details/quarksleptonsint0000halz | publisher=John Wiley & Sons | year=1984 | isbn=0-471-88741-2}}
*[http://arxiv.org/abs/math/0605784v1 Maximal Subgroups of Compact Lie Groups ] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0605784v1 |date=20210910100016 }}

==外部链接==
*[http://courses.washington.edu/phys55x/Physics%20558_lec1_03.htm Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003] {{Wayback|url=http://courses.washington.edu/phys55x/Physics%20558_lec1_03.htm |date=20120204045954 }}

[[Category:李群]]