查看“︁特徵方程式”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{Distinguish|特徵多項式}}
'''特徵方程式'''（characteristic equation）或'''輔助方程式'''（auxiliary equation）<ref name="edwards" />為数学名詞，是對應{{mvar|n}}[[导数|階]][[微分方程]]<ref name="smith">{{cite web|url=http://etc.usf.edu/lit2go/contents/2800/2892/2892_txt.html|title=History of Modern Mathematics: Differential Equations|last=Smith|first=David Eugene|publisher=University of South Florida|access-date=2019-05-05|archive-date=2011-07-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20110720101840/http://etc.usf.edu/lit2go/contents/2800/2892/2892_txt.html|dead-url=no}}</ref>或{{link-en|線性差分方程|linear difference equation|差分方程}}<ref>{{cite book|last=Baumol|first=William J.|title=Economic Dynamics|url=https://archive.org/details/economicdynamics0000baum_c7i2|edition=3rd|date=1970|page=[https://archive.org/details/economicdynamics0000baum_c7i2/page/172 172]}}</ref><ref>{{cite book|last=Chiang|first=Alpha|title=Fundamental Methods of Mathematical Economics|url=https://archive.org/details/fundamentalmetho00chia_782|edition=3rd|date=1984|pages=[https://archive.org/details/fundamentalmetho00chia_782/page/n579 578], 600}}</ref>的{{mvar|n}}{{link-en|多項式的次數|Degree of a polynomial|次}}[[代數函數|代數]]方程式。只有線性齊次常[[系數]]的微分方程或差分方程才有特徵方程式<ref name="edwards">{{cite book|last1=Edwards |first1=C. Henry |last2=Penney |first2=David E. |others=David Calvis |title=Differential Equations: Computing and Modeling |year=2008 |url=https://archive.org/details/differentialequa0000edwa_x2y6 |publisher=Pearson Education |location=Upper Saddle River, New Jersey |pages=[https://archive.org/details/differentialequa0000edwa_x2y6/page/156 156]–170 |chapter=Chapter 3 |isbn=978-0-13-600438-7}}</ref>。考慮一微分方程，其[[自变量和因变量|因变量]]為{{mvar|y}}，{{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''a''<sub>''n'' − 1</sub>, ..., ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>0</sub>}}為[[数学常数|常数]]
:<math>a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0,</math>
其特徵方程式如下
:<math>a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0</math>
根據其解{{math|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}}可以產生微分方程的通解<!--general solution--><ref name="edwards" /><ref name=eFunda>{{cite web |url=http://www.efunda.com/math/ode/linearode_consthomo.cfm |title=Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients |last1=Chu |first1=Herman |last2=Shah |first2=Gaurav |last3=Macall |first3=Tom |publisher=eFunda |accessdate=1 March 2011 |archive-date=2019-10-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191024051711/http://www.efunda.com/math/ode/linearode_consthomo.cfm |dead-url=no }}</ref><ref name="cohen">{{cite book|last=Cohen|first=Abraham|title=An Elementary Treatise on Differential Equations|url=https://archive.org/details/elementarytreati00coheuoft|publisher=D. C. Heath and Company|year=1906}}</ref>。而一個線性差分方程

:<math>y_{t+n}=b_1y_{t+n-1} + \cdots + b_ny_{t}</math>

也有其特徵方程式

:<math>r^n - b_1r^{n-1} - \cdots - b_n =0,</math>
<!---
discussed in more detail at [[Linear difference equation|Linear difference equation#Solution of homogeneous case]].-->

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數[[李雅普诺夫稳定性|稳定]]的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的[[绝对值]]都小於1。針對這兩種系統，若是有[[复数 (数学)|复数]]根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的[[积分]]求解法是由[[萊昂哈德·歐拉]]發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關<ref name="smith" />。後來法國科學家[[奧古斯丁·路易·柯西]]及[[加斯帕尔·蒙日]]也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節<ref name="smith" /><ref name="cohen" />。
==  推導 ==
考慮常係數的線性齊次微分方程
{{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''a''<sub>''n'' − 1</sub>, ..., ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>0</sub>}},
:<math>a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y^\prime + a_{0}y = 0</math>

假設{{math|''y''(''x'') {{=}} ''e<sup>rx</sup>''}}，而[[指數函數]]{{math|''e<sup>rx</sup>''}}的導數是本身的倍數，{{math|''y''′ {{=}} ''re<sup>rx</sup>''}}, {{math|''y''″ {{=}} ''r''<sup>2</sup>''e<sup>rx</sup>''}}，{{math|''y''<sup>(''n'')</sup> {{=}} ''r<sup>n</sup>e<sup>rx</sup>''}}。因此上式中的每一項都會是{{math|''e<sup>rx</sup>''}}的倍數。若{{mvar|r}}為特定值，可以讓{{math|''e<sup>rx</sup>''}}的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程<ref name="eFunda" />。為了求解{{mvar|r}}，可以將{{math|''y'' {{=}} ''e<sup>rx</sup>''}}及其導數替換到微分方程中，可以得到
:<math>a_{n}r^{n}e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_{1}re^{rx} + a_{0}e^{rx} = 0</math>。
因為{{math|''e<sup>rx</sup>''}}不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式
:<math>a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0</math>
求解特徵方程式中的{{mvar|r}}，可以求得微分方程的通解<ref name="edwards" /><ref name="cohen" />。例如，若{{mvar|r}}為3，其通解為{{math|''y''(''x'') {{=}} ''ce''<sup>3''x''</sup>}}，其中{{mvar|c}}為[[積分常數]]。
== 有關通解的公式 ==
找到特徵方程式的根{{math|''r''<sub>1</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}}，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是[[实数]]或[[复数 (数学)|複數]]，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有{{mvar|h}}個重根，或是{{mvar|k}}個複數的根，其解分別為{{math|''y''<sub>D</sub>(''x'')}}, {{math|''y''<sub>R<sub>1</sub></sub>(''x''), ..., ''y''<sub>R<sub>''h''</sub></sub>(''x'')}}及{{math|''y''<sub>C<sub>1</sub></sub>(''x''), ..., ''y''<sub>C<sub>''k''</sub></sub>(''x'')}}，因此通解為
:<math> y(x) = y_\mathrm{D}(x) + y_{\mathrm{R}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{R}_h}(x) + y_{\mathrm{C}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{C}_k}(x) </math>

===例子===
以下是常係數的線性齊次微分方程
:<math> y^{(5)} + y^{(4)} - 4y^{(3)} - 16y'' -20y' - 12y = 0 </math> 
其特徵方程為
:<math> r^5 + r^4 - 4r^3 - 16r^2 -20r - 12 = 0 </math>
將特徵方程[[因式分解]]，可得到
:<math> (r - 3)\left(r^2 + 2r + 2\right)^2 = 0 </math>
可以看到{{mvar|r}}的解有一個單根，{{math|''r''<sub>1</sub> {{=}} 3}}以及重根的複數根{{math|''r''<sub>2,3,4,5</sub> {{=}} −1 ± ''i''}}，因此其通解為
: <math> y(x) = c_1 e^{3x} + e^{-x}(c_2 \cos x + c_3 \sin x) + xe^{-x}(c_4 \cos x + c_5 \sin x) </math>
其中有常數{{math|''c''<sub>1</sub>, ..., ''c''<sub>5</sub>}}。
=== 相異實根 ===
根據應用在常係數線性齊次微分方程的[[叠加原理]]，若{{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>}}是特定微分方程的{{mvar|n}}個[[線性無關]]的解，則{{math|''c''<sub>1</sub>''u''<sub>1</sub> + ... + ''c<sub>n</sub>u<sub>n</sub>''}}也是其解，其中{{math|''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub>''}}為任意常數<ref name="edwards" /><ref name="dawkins">{{cite web|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/PDETerminology.aspx|title=Differential Equation Terminology|last=Dawkins|first=Paul|work=Paul's Online Math Notes|accessdate=2 March 2011|archive-date=2021-04-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210414231625/https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/PDETerminology.aspx|dead-url=no}}</ref>。因此，若特徵方程有相異實根{{math|''r''<sub>1</sub>, ..., ''r<sub>n</sub>''}}，則通解為
:<math> y_\mathrm{D}(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} + \cdots + c_n e^{r_n x} </math>。

=== 重根實根 ===
若特徵方程式中有重複{{mvar|k}}次的根{{math|''r''<sub>1</sub>}}，可以確定{{math|''y''<sub>p</sub>(''x'') {{=}} ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他{{math|''k'' − 1}}的根提供線性獨立的解。因為{{math|''r''<sub>1</sub>}}為{{mvar|k}}次重根，可以將微分方程改寫為<ref name="edwards" />
:<math> \left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k y = 0 </math>.
因為{{math|''y''<sub>p</sub>(''x'') {{=}} ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式{{math|''y''(''x'') {{=}} ''u''(''x'')''e''<sup>''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}，其中 {{math|''u''(''x'')}}是待確認的函數。將{{math|''ue''<sup>''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}代入後可得
:<math> \left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right ) ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}\left(ue^{r_1 x}\right) - r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x} + r_1 ue^{r_1 x}- r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x} </math>
其中{{math|''k'' {{=}} 1}}。上述的式子應用{{mvar|k}}次，可以得到
:<math> \left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k ue^{r_1 x} = \frac{d^k}{dx^k}(u)e^{r_1 x} = 0</math>
除以{{math|''e''<sup>''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}後可得
:<math> \frac{d^k}{dx^k}(u) = u^{(k)} = 0 </math>
上述式子若且唯若{{math|''u''(''x'')}}是{{math|''k'' − 1}}次的多項式，因此{{math|''u''(''x'') {{=}} ''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>''x'' + ''c''<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup> + ... + ''c<sub>k</sub>x''<sup>''k'' − 1</sup>}}.<ref name="cohen" />。因為{{math|''y''(''x'') {{=}} ''ue''<sup>''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}，因此通解中對應{{math|''r''<sub>1</sub>}}的解會是
:<math> y_\mathrm{R}(x) = e^{r_1 x}\left(c_1 + c_2 x + \cdots + c_k x^{k-1}\right) </math>

=== 複數根 ===
若二階微分方程有[[共轭复数]]根{{math|''r''<sub>1</sub> {{=}} ''a'' + ''bi''}}及{{math|''r''<sub>2</sub> {{=}} ''a'' − ''bi''}}，其對應的通解為{{math|''y''(''x'') {{=}} ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>(''a'' + ''bi'')''x''</sup> + ''c''<sub>2</sub>''e''<sup>(''a'' − ''bi'')''x''</sup>}}。利用[[欧拉公式]]（{{math|''e<sup>iθ</sup>'' {{=}} cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ''}}），可以將通解改寫如下：
:<math>\begin{align}
y(x) &= c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x}\\ 
     &= c_{1}e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) + c_{2}e^{ax}( \cos bx - i \sin bx ) \\
     &= \left(c_{1} + c_{2}\right)e^{ax} \cos bx + i(c_{1} - c_{2})e^{ax} \sin bx 
\end{align}</math>
其中{{math|''c''<sub>1</sub>}}和{{math|''c''<sub>2</sub>}}是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同<ref name="cohen" />（因為{{math|''y''(''x'')}}是實數，{{math|''c''<sub>1</sub> − ''c''<sub>2</sub>}}需要是虛數或是零，{{math|''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>}}為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若{{math|''c''<sub>1</sub> {{=}} ''c''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}}，可以得到特解{{math|''y''<sub>1</sub>(''x'') {{=}} ''e<sup>ax</sup>'' cos ''bx''}}，另外，若{{math|''c''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2''i''}}}}及{{math|''c''<sub>2</sub> {{=}} −{{sfrac|1|2''i''}}}}，可以得到另一個獨立的解{{math|''y''<sub>2</sub>(''x'') {{=}} ''e<sup>ax</sup>'' sin ''bx''}}。利用重疊原則，有{{math|''r'' {{=}} ''a'' ± ''bi''}}複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：
:<math> y_\mathrm{C}(x) = e^{ax}\left(c_{1} \cos bx +c_{2} \sin bx \right)</math>

上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。

== 參考資料 ==
{{reflist|2}}

[[Category:常微分方程]]