查看“︁特定指数的费马大定理的证明”︁的源代码

{{多個問題|
{{Expert|time=2014-12-28}}
{{lead section|time=2014-11-21T12:07:23+00:00}}
}}
'''[[费马大定理]]的'''完整'''证明'''是一个艰深的过程，但是，对于某些'''特定'''的'''[[指數]]'''n，其证明并不算十分复杂，因此在此展示费马大定理的特例证明。

== n=4 ==
证明<math>x^4+y^4=z^4</math>没有全不为0的[[整数]]解。

=== 预备知识 ===
假设x,y,z是满足<math>x^2+y^2=z^2</math>的一组[[互质]]的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得<math>x^2=a^2-b^2,y^2=2ab,z=a^2+b^2</math>。

=== 证明过程 ===
==== 1 ====
假设(x,y,z)为[[方程]]<math>x^4+y^4=z^2</math>一个解并且x,y互质，y为[[偶数]]，则<math>x^2=a^2-b^2,y^2=2ab,z=a^2+b^2</math>，其中<math>a > b > 0</math>，a、b互质，a、b的奇偶性相反。由<math>x^2=a^2-b^2</math>得a必定是[[奇数]]，b必定是偶数。

==== 2 ====
另外，亦得<math>x^2+ b^2=a^2</math>，再从此得<math>x=c^2-d^2,b=2cd,a=c^2+d^2</math>，其中<math>c>d>0</math>，c、d互质，c、d的奇偶性相反。

==== 3 ====
最后有<math>y^2=2ab=4cd(c^2 + d^2)</math>，由此得c、d和<math>c^2+d^2</math>为平方数。于是可设<math>c=e^2,d=f^2,c^2+d^2=g^2</math>,即<math>e^4+f^4=g^2</math>。换句话说，(e,f,g)为方程<math> x^4+y^4=z^2</math>的另外一个解。但是，<math>z=a^2+b^2=(c^2+d^2)^2+4c^2d^2>g^4>g>0</math>。就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程<math>x^4+y^4=z^2</math>。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。

所以，方程<math>x^4+y^4=z^2</math>没有[[正整数]]解。

[[Category:文中证明]]
[[Category:费马大定理]]