查看“︁牛奶凍曲線”︁的源代码

{{expert|time=2019-07-20T14:59:55+00:00}}
{{unreferenced|time=2019-07-20T14:59:55+00:00}}
[[File:Blancmange-function.svg|右|缩略图|256x256像素|牛奶凍函數的圖形]]
'''牛奶凍曲线'''（blancmange curve）又称为'''高木曲线'''，因為在1901年由[[高木貞治]]所研究。另外也稱为 '''Takagi-Landsberg 曲线'''，一種更一般化的曲線，以[[高木貞治]]和 [[Georg Landsberg]] 的名字命名。 牛奶凍曲線也是 [[de Rham曲线|de Rham 曲线]]的特例。 

== 定義 ==

定義域為單位[[单位区间|區間]]的牛奶凍函數定義為  

: <math>b(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n},</math>

其中 <math display="inline">s</math> 是三角波函數，定義為 <math>s(x)=\min_{n\in\mathbb{N}}\left|x-n\right|</math>。  

而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的：  

:<math>T_w(x) = \sum_{n=0}^\infty w^n s(2^{n}x),</math>

其中<math>w</math>是一個變數使<math>|w|<1</math>。<gallery mode="nolines" highs="300px" widths="190">
File:Blancmange k1.5.png|parameter w=2/3
File:Blancmange k2.png|parameter w=1/2
File:Blancmange k3.png|parameter w=1/3
File:Blancmange k4.png|parameter w=1/4
File:Blancmange k8.png|parameter w=1/8
</gallery>
<br />
== 性質 ==

=== 收斂與連續性 ===
以<math> w </math>（<math>|w| < 1</math>）為參數無限和<math>T_w(x)</math>對所有<math> x </math>[[絕對收斂]]：因為對所有<math>x\in \mathbb{R}</math>有<math>0\le s(x) \le 1/2</math>，從而

: <math>\sum_{n=0}^\infty |w^n s(2^n x)| \le \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty |w|^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-|w|}</math>。

以<math> w </math>為參數的<math>T_w(x)</math>也是[[連續]]的。因為可以如下證明<math display="inline">T_{w,n}(x) = \sum_{k=0}^n w^k s(2^k x)</math>[[均勻收斂]]到<math>T_w</math>：

: <math>\left|T_w(x) - T_{w,n}(x)\right| = \left|\sum_{k=n+1}^\infty w^k s(2^k x)\right| = \left|w^{n+1} \sum_{k=0}^\infty w^k s(2^{k+n+1} x)\right| \le \frac{|w|^{n+1}}{2} \cdot \frac{1}{1-|w|}</math> 對所有 <math>x\in \mathbb{R}</math>。

其值在<math> n </math>夠大時可以任意的小。再根據{{Link-en|均勻極限定理|Uniform limit theorem}}，<math>T_w</math>連續。
=== 次可加性 ===
<math>T_w</math>具有[[次可加性]]。

=== 拋物線 ===
當<math display="inline">w=\frac{1}{4}</math>，<math>T_w</math>的圖形是[[拋物線]]，且用中點細分的構造方法曾被[[阿基米德]]描述。

=== 可微性 ===
對所有<math>0< w < 1/2</math>，<math>T_w</math>在任意不是[[二进分数]]的<math>x\in\R</math>是可微的，且其結果是

:<math>T_w'(x) = \sum_{n=0}^\infty (2w)^n \,(-1)^{x_{-n-1}}, </math>

其中<math>(x_n)_{n\in\Z}\in\{0,1\}^\Z</math>是<math>x</math>的[[二進位]]表達式的序列，也就是滿足<math display="inline">x=\sum_{n\in\Z}2^n x_n</math>的序列。

<br />
[[Category:连续映射]]