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[[File:Circle_caustic.png|right|frame|由[[圆]]和平行光线生成的反射焦散线。在一边，每个点都包含在3条射线中；另一边，每个点都包含在1条射线中。]]

[[微分几何]]中，'''焦散线'''（caustic）指由[[流形]][[反射 (数学)|反射]]或[[折射]]的[[射线]]的[[包络线]]。这与[[几何光学]]中的[[焦散 (光学)|焦散]]现象有关。射线的来源可以是点（辐射点，radiant）或来自无穷远处某点的平行射线，这时要指定射线的方向向量。

一般来说，应用于[[辛几何]]与[[奇点理论]]中的焦散线指[[辛流形#拉格朗日映射|拉格朗日映射]]<math>(\pi\circ i):\ L\hookrightarrow M\twoheadrightarrow B</math>的临界值集，其中<math>i:\ L\hookrightarrow M</math>是[[辛流形#拉格朗日及其他子流形|拉格朗日子流形]]''L''到[[辛流形]]''M''的[[辛流形#拉格朗日映射|拉格朗日浸入]]，<math>\pi:\ M\twoheadrightarrow B</math>是辛流形''M''的[[辛流形#拉格朗日纤维|拉格朗日纤维化]]。焦散是拉格朗日[[纤维化 (数学)|纤维化]]基空间''B''的[[子集]]。<ref name="Arnold">{{Cite book|first=V. I.|last=Arnold|first2=A. N.|last2=Varchenko|first3=S. M.|last3=Gusein-Zade|authorlink1=Vladimir Arnold|authorlink3=Sabir Gusein-Zade|authorlink2=Alexander Varchenko|title=The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1|url=https://archive.org/details/singularitiesofd0002arno|publisher=Birkhäuser|year=1985|isbn=0-8176-3187-9}}</ref>
==解释==
[[File:Caustics.gif|250px|thumb|right|射线经过非平面折射后，在许多光线交叉的地方会形成焦散线。]]
集中的光线（如[[阳光]]）会灼伤人。“焦散”（caustic）一词来自希腊语καυστός“烧焦”，途经拉丁语''causticus''“燃烧”。

光线照射在酒杯上时，就会出现焦散现象。玻璃杯会投射出阴影，也会产生弯曲的亮区。在理想情况下（包括平行光射入时）会产生[[肾形线|肾形]]光斑。<ref>[http://mathworld.wolfram.com/CircleCatacaustic.html Circle Catacaustic] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CircleCatacaustic.html |date=20200319025110 }}. Wolfram [[MathWorld]]. Retrieved 2009-07-17.</ref><ref>{{Cite web|url=https://sinews.siam.org/Details-Page/focusing-on-nephroids|title=Focusing on Nephroids|last=Levi|first=Mark|date=2018-04-02|website=SIAM News|access-date=2018-06-01|archive-date=2023-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20230627231225/https://sinews.siam.org/Details-Page/focusing-on-nephroids|dead-url=no}}</ref>光线穿过波浪照射在水体上时，通常会形成波纹状的焦散线。

[[彩虹]]是人们熟悉的另一种焦散现象。<ref>{{Cite web |url=http://atoptics.co.uk/fz552.htm |title=Rainbow caustics |access-date=2024-01-09 |archive-date=2013-04-19 |archive-url=https://archive.today/20130419141523/http://atoptics.co.uk/fz552.htm |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://atoptics.co.uk/fz564.htm |title=Caustic fringes |access-date=2024-01-09 |archive-date=2012-06-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120612233135/http://atoptics.co.uk/fz564.htm |dead-url=no }}</ref>雨滴对光的散射会使不同[[波长]]的光折射成半径不同的弧线，从而产生彩虹。

==回光线==
'''回光线'''（catacaustic）是反射的情形。

对于点光源，它是[[辐射点]][[垂足曲线|正交]]（orthotomic）的[[渐屈线]]。

平面平行光源情况：假设方向向量是<math>(a,b)</math>，镜面曲线参数化为<math>(u(t),v(t))</math>。某点的法向量为<math>(-v'(t),u'(t))</math>；方向向量的反射为（法向量需要特殊归一化处理）
:<math>2\mbox{proj}_nd-d=\frac{2n}{\sqrt{n\cdot n}}\frac{n\cdot d}{\sqrt{n\cdot n}}-d=2n\frac{n\cdot d}{n\cdot n}-d=\frac{
(av'^2-2bu'v'-au'^2,bu'^2-2au'v'-bv'^2)
}{v'^2+u'^2}</math>
将找到的反射向量的分量视作切线
:<math>(x-u)(bu'^2-2au'v'-bv'^2)=(y-v)(av'^2-2bu'v'-au'^2).</math>
使用最简单的[[包络线]]形式
:<math>F(x,y,t)=(x-u)(bu'^2-2au'v'-bv'^2)-(y-v)(av'^2-2bu'v'-au'^2)</math> 
:::<math>=x(bu'^2-2au'v'-bv'^2)
-y(av'^2-2bu'v'-au'^2)
+b(uv'^2-uu'^2-2vu'v')
+a(-vu'^2+vv'^2+2uu'v')</math>
:<math>F_t(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')
-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')</math>
:::<math>+b( u'v'^2 +2uv'v'' -u'^3 -2uu'u'' -2u'v'^2 -2u''vv' -2u'vv'')
+a(-v'u'^2 -2vu'u'' +v'^3 +2vv'v'' +2v'u'^2 +2v''uu' +2v'uu'')</math>
这可能不美观，但<math>F=F_t=0</math>给出了<math>(x,y)</math>中的[[线性系统]]，因此获得回光线的参数是很简单的，用[[克莱姆法则]]就可以。
===例子===
令方向向量为(0,1)，镜面为<math>(t,t^2).</math>
则
:<math>u'=1</math> &nbsp; <math>u''=0</math> &nbsp; <math>v'=2t</math> &nbsp; <math>v''=2</math> &nbsp; <math>a=0</math> &nbsp; <math>b=1</math>
:<math>F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^2)+4t(y-t^2)=x(1-4t^2)+4ty-t</math>
:<math>F_t(x,y,t)=-8tx+4y-1</math>
且<math>F=F_t=0</math>有解<math>(0,1/4)</math>；即光线平行于[[抛物线|抛物]]镜面的轴线进入，会通过焦点反射。
==另见==
* [[肾形线]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==外部链接==
*{{MathWorld|title=Caustic|urlname=Caustic}}

{{Differential transforms of plane curves}}

[[Category:微分几何]]