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數學分支'''無窮元組合學'''（infinitary combinatorics），又稱'''組合集合論'''（combinatorial set theory），是將[[組合學]]的想法推廣到[[無窮集]]。研究對象有[[圖極限|連續圖]]、[[樹 (集合論)|集合論的樹]]、[[拉姆齊定理]]在無窮集的推廣、[[馬丁公理]]。在2010年，本分支的開展的研究還有：[[連續統]]上的組合學<ref>{{cite book|first = Andreas|last = Blass|chapter = Ch. 6: Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum|trans-chapter =第6章：連續統的組合基數特徵 | title =  Handbook of Set Theory |trans-title = 集合論手冊| editor1-first = Matthew | editor1-last = Foreman | editor2-first = Akihiro | editor2-last = Kanamori | publisher = Springer | year = 2010 |language = en}}</ref>、{{le|正則基數|Regular cardinal|奇異基數}}後繼上的組合學<ref>
{{cite book|first = Todd|last = Eisworth|chapter = Ch. 15: Successors of Singular Cardinals|trans-chapter = 第15章：奇異基數的後繼| title =  Handbook of Set Theory|trans-title = 集合論手冊| editor1-first = Matthew | editor1-last = Foreman | editor2-first = Akihiro | editor2-last = Kanamori | publisher = Springer | year = 2010 |language = en}}</ref>。

==無窮集的拉姆齊理論==
設<math>\kappa,\ \lambda</math>為[[序數]]，<math>m</math>為[[基數 (數學)|基數]]，<math>n</math>為正整數。{{harvtxt|Erdős|Rado|1956}}引入記號
:<math>\kappa\rightarrow(\lambda)^n_m</math>
作為下列命題的速記：

<blockquote>
若將<math>\kappa</math>所有<math>n</math>元子集的集合<math>[\kappa]^n</math>，[[集合劃分|分劃]]為<math>m</math>份，則有一份包含序型為<math>\lambda</math>的[[同質集]]。
</blockquote>
所謂'''同質集'''，意思是<math>\kappa</math>的子集，且其所有<math>n</math>元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法：
<blockquote>
若有<math>m</math>種色，並將<math>\kappa</math>的每個<math>n</math>元子集，各染一種色，則必有序型為<math>\lambda</math>的同色集，即其所有<math>n</math>元子集皆同色。
</blockquote>
當<math>m</math>為<math>2</math>時，可省略不寫。

假設[[選擇公理]]（AC），則不存在序數<math>\kappa</math>使得<math>\kappa \rightarrow (\omega)^\omega</math>。此即上段取<math>n</math>有限的原因。雖然不允許<math>n</math>為無窮大，但仍可以同時考慮任意大的<math>n</math>。符號

:<math>\kappa\rightarrow(\lambda)^{<\omega}_m</math>

表示命題「若將<math>\kappa</math>的所有有限子集染成<math>m</math>種色，則有序型為<math>\lambda</math>的子集<math>X</math>，使得其對每個<math>n</math>，<math>X</math>的所有<math>n</math>元子集皆同色。」（但不同的<math>n</math>之間，無需同色。）同樣，當<math>m</math>為<math>2</math>時，可省略不寫。

還有變式：
<math>\kappa\rightarrow(\lambda, \mu)^n</math>
表示「若將<math>\kappa</math>的所有<math>n</math>元子集染成紅、藍兩色，則或有序型為<math>\lambda</math>的子集，其所有<math>n</math>元子集皆為紅，或有序型為<math>\mu</math>的子集，其所有<math>n</math>元子集皆為藍。」


可以此記號表示的命題有：（下設<math>\kappa</math>為基數）
:<math>\alef_0\rightarrow(\alef_0)^n_k</math>對所有有限的<math>n, k</math>成立（[[拉姆齊定理]]）。
:<math>\beth_n^+\rightarrow(\alef_1)_{\alef_0}^{n+1}</math>（{{le|艾狄胥－雷多定理|Erdős–Rado theorem}}）。
:<math>2^\kappa\not\rightarrow(\kappa^+)^2</math>（[[謝爾賓斯基定理]]）
:<math>2^\kappa\not\rightarrow(3)^2_\kappa</math>
:<math>\kappa\rightarrow(\kappa,\alef_0)^2</math> ({{le|艾狄胥－杜什尼克－米勒定理|Erdős–Dushnik–Miller theorem}}<!--無法確定Dushnik之讀音，僅為暫譯-->）。

在無選擇（choiceless，即選擇公理不成立）的宇集中，上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是[[決定公理]]（AD）的推論，例如，{{le|當勞·馬丁|Donald A. Martin}}證明，AD推出  
:<math>\alef_1\rightarrow(\alef_1)^{\alef_1}_2.</math>

==大基數==
{{main|大基數}}
一些[[大基數]]性質是用拉姆齊性質定義，如：
*'''{{le|弱緊基數|Weakly compact cardinal}}'''<math>\kappa</math>滿足<math>\kappa \rightarrow (\kappa)^2</math>；
*'''{{le|艾狄胥基數|Erdős cardinal|''α''艾狄胥基數}}'''<math>\kappa</math>是滿足<math>\kappa \rightarrow (\alpha)^\omega</math>的最小基數；
*'''{{le|拉姆齊基數|Ramsey cardinal}}'''<math>\kappa</math>滿足<math>\kappa \rightarrow (\kappa)^\omega</math>。

==參考文獻==
{{reflist}}

*{{Citation | last1=Dushnik | first1=Ben | last2=Miller | first2=E. W. | title=Partially ordered sets|trans-title = 偏序集 | jstor=2371374 | mr=0004862 | year=1941 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=63 | pages=600–610 | doi=10.2307/2371374 | issue=3| hdl=10338.dmlcz/100377 | hdl-access=free |language = en  }}
*{{Citation | last1=Erdős | first1=Paul | author1-link = Paul Erdős | last2=Hajnal | first2=András  | title=Axiomatic Set Theory ( Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) |trans-title = 公理化集合論（加州大學，洛杉磯，加州，1967）| publisher=Amer. Math. Soc. | location=Providence, R.I. | series=Proc. Sympos. Pure Math | mr=0280381 | year=1971 | volume=XIII Part I | chapter=Unsolved problems in set theory|trans-chapter = 集合論的未解問題 | pages=17–48 |language = en}}
*{{citation|mr=0795592
|last=Erdős|first= Paul|author1-link=Paul Erdős|last2= Hajnal|first2= András|last3= Máté|first3= Attila|last4= Rado|first4= Richard
|title=Combinatorial set theory: partition relations for cardinals
|trans-title = 組合集合論：基數的分劃關係
|series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|volume= 106|publisher= North-Holland Publishing Co. |place=Amsterdam|year= 1984| isbn= 0-444-86157-2 |language = en}}
*{{citation|mr=0081864
|last=Erdős|first= P.|author1-link=Paul Erdős|last2= Rado|first2= R.
|title=A partition calculus in set theory
|trans-title = 集合論的分劃算數
|journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=62 |year=1956|pages= 427–489
|url=https://www.ams.org/bull/1956-62-05/S0002-9904-1956-10036-0/|doi=10.1090/S0002-9904-1956-10036-0|issue=5|doi-access=free
|language = en}} 
* {{cite book|author=Kanamori, Akihiro|title=The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings
|trans-title = 更高的無窮：從源流談集合論的大基數  |edition= second|publisher=Springer|year=2000|isbn=3-540-00384-3 |language = en}}
*{{Citation | last1=Kunen | first1=Kenneth | author1-link=肯尼思·丘嫩 | title=Set Theory: An Introduction to Independence Proofs|trans-title = 集合論：獨立性證明導論 | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | isbn=978-0-444-85401-8 | year=1980 |language = en}}

[[Category:集合论]]
[[Category:组合数学]]