查看“︁热容间的关系”︁的源代码

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在[[热力学]]中，等容[[熱容量|热容]] <math>C_{V}</math> 以及等压热容 <math>C_{P}</math> 是单位为能量除以温度的[[內含及外延性質|广度性质]]，它们可通过[[膨胀系数]]和[[压缩性|压缩系数]]联系在一起。

== 关系 ==
可根据热力学定律导出以下关系：<ref>{{Cite book|edition=5th ed|chapter=|url=https://www.worldcat.org/oclc/191024055|publisher=Taylor & Francis|date=2008|location=New York|isbn=978-1-59169-043-6|oclc=191024055|first=David R.|last=Gaskell|title=Introduction to the thermodynamics of materials}}</ref>

: <math>C_{P} - C_{V}= V T\frac{\alpha^{2}}{\beta_{T}}\,</math>

: <math>\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{\beta_{T}}{\beta_{S}}\,</math>

其中 <math>\alpha</math> 是[[膨胀系数]]：

: <math>\alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\,</math>

<math>\beta_{T}</math> 是等温[[压缩性|压缩系数]]（[[体积模量]]的倒数）：

: <math>\beta_{T}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}\,</math>

<math>\beta_{S}</math> 是[[等熵过程|等熵]]压缩系数：

: <math>\beta_{S}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{S}\,</math>

定容和定压下[[比熱容|比热容]]（[[內含及外延性質|强度特性]]）关系的对应表达式为：

: <math> c_p - c_v = \frac{T \alpha^2}{\rho \beta_T} </math>

其中 <math>\rho</math> 是物质的[[密度]]。

[[绝热指数|比热容比]]的相应表达式保持不变，因为与[[热力学系统]]尺寸相关的量，无论是基于质量还是摩尔，在相除的时候都会被消掉，因为比热容是强度性质。因此：

: <math>\frac{c_{p}}{c_{v}}=\frac{\beta_{T}}{\beta_{S}}\,</math>

热容间差的关系可被用于计算难以直接测定的固体恒容热容。我们也可通过热容比来表达等熵压缩系数。

== 推导 ==
在等容下：
: <math>C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_V\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V</math>
同理可得 <math>C_P=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P</math>，作差：
: <math>C_P-C_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P-T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V</math>
由于[[熵]] <math>S</math> 是温度、体积的函数，即 <math>S=S(T,V)</math>，体积 <math>V</math> 是温度、压强的函数，即 <math>V=V(T,P)</math>，根据[[链式法则|复合函数偏微分的链式法则]]：
: <math>\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>
带入：
: <math>\begin{align} C_P-C_V&=T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\\&=VT\alpha\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \end{align}</math>
由[[麦克斯韦关系式]]和[[三乘积法则]]：
: <math>\begin{align} C_P-C_V&=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_VTV\alpha\\&=\frac{\alpha^2TV}{\beta_T}\end{align}</math>
若把 <math>C_P</math> 和 <math>C_V</math> 相除：
: <math>\frac{C_P}{C_V}=\frac{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P}{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V}</math>
对分子分母分别使用[[三乘积法则]]，并重新组合：
: <math>\frac{C_P}{C_V}=\frac{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_S\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_T}{\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_S}=\frac{\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_T\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T}{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_S\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S}=\frac{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_S}</math>
根据定义：
: <math>\frac{C_P}{C_V}=\frac{\beta_T}{\beta_S}</math>

== 理想气体 ==
[[理想氣體|理想气体]]满足[[理想气体状态方程]]：
: <math>PV=nRT</math>
可由此求出理想气体的膨胀系数：
: <math>\alpha=\frac1V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)=\frac{nR}{PV}=\frac1T</math>
由此求出理想气体的膨胀系数：
: <math>\beta_T=-\frac1V\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T=-\frac1V\left(-\frac VP\right)=\frac1P</math>
带入关系式：
: <math> C_P-C_V=\frac{VP}T=nR</math>

== 参考文献 ==
<references />
[[Category:热力学]]