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[[數學]]中，'''濫用符號'''（{{lang-en|Abusing notation}}{{註|英文常用搭配為"{{lang|en|by abuse of notation}}"，意即「藉濫用符號」。}}）雖然不嚴格，並非按[[數學符號]]的字面定義來運用，但有時能使[[數學證明|數學論證]]更清晰，或引導讀者明白其{{le|數學直覺|Mathematical intuition|直觀意義}}，同時減少犯錯和增進理解。不過，符號是否嚴格使用，或{{le|句法 (邏輯)|syntax (logic)|句法}}上是否正確，很視乎時代和學科背景。某些用法，在某些場合算為濫用，在另一種背景下卻是嚴格正確。某理論在嚴格化前，若已引入新的符號，則該些符號是否屬濫用，就可能取決於時代，因為有時該理論發展後，邏輯根基得到鞏固，統一符號用法，而使符號變成嚴格正確。濫用符號不等於誤用符號，因為前者是表意與嚴格性兩方面的取捨，而後者則僅是錯誤，應當避免。誤用積分常數為後者一例<ref>{{Cite web|url=https://math.vanderbilt.edu/schectex/commerrs/#Constants|title=Common Errors in College Math|trans-title=大學數學常犯錯誤|website=math.vanderbilt.edu|access-date=2019-11-03|language=en|archive-date=2021-10-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20211004084215/https://math.vanderbilt.edu/schectex/commerrs/#Constants|dead-url=no}}</ref>。

相似的概念是'''濫用語文'''（{{lang-en|abusing language}}）或'''濫用術語'''（{{lang-en|abusing terminology}}），此時濫用的是詞語，而非符號。例如，「[[群表示|表示]]」的正式含義，是由某個[[群]] <math>G</math> 到某[[向量空間]] <math>V</math> 上的[[一般線性群]] <math>\mathrm{GL}(V)</math> 的[[群同態]]，但經常會將 <math>V</math> 稱為 <math>G</math> 的表示。另一個常見濫用，是稱兩個{{le|典範同構|Canonical isomorphism}}但不相等的[[範疇 (數學)|物件]]為等同。<ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.abstractmath.org/MM/MMGlossary.htm#A|title=Glossary — Abuse of notation|website=www.abstractmath.org|access-date=2019-11-03|archive-date=2021-12-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20211222222511/https://abstractmath.org/MM/MMGlossary.htm#A|dead-url=no}}</ref>類似還有：視[[常數函數]]與其值等同、視[[群]]（一個[[集合 (數學)|基集]]與其上[[二元運算]]組成的二元組）與其基集等同、視集合[[笛卡兒積]]<math>\mathbb R^3</math>與三維[[歐氏空間]]（配備幾何結構）等同。<ref name=":2">{{Cite web|url=https://www.abstractmath.org/MM/MMMoreLanguage.htm#suppressionofparameters|title=More about the languages of math — Suppression of parameters|website=www.abstractmath.org|access-date=2019-11-03|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506195204/http://abstractmath.org/MM/MMMoreLanguage.htm#suppressionofparameters|dead-url=no}}</ref>

== 集合與映射例子 ==

=== 函數寫法 ===

許多教科書中，會寫「設函數 <math>f(x)</math> 為⋯⋯（填入關於 <math>x</math> 的式子）」。此為濫用符號，因為[[函數]]的名稱應為 <math>f</math>，而 <math>f(x)</math> 應表示函數 <math>f</math> 在其[[定義域]]中某處 <math>x</math> 的取值。嚴格的寫法為：「設 <math>f</math> 為函數，在 <math>x</math> 處取值為⋯⋯」或「設 <math>f</math> 為函數 <math>x \mapsto \cdots</math>」此種濫用非常廣泛，<ref>{{Cite web|url=http://xahlee.info/math/abuse_of_math_notation.html|title=Abuse of Math Notation|website=xahlee.info|access-date=2019-11-03|archive-date=2021-11-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20211120084003/http://xahlee.info/math/abuse_of_math_notation.html|dead-url=no}}</ref>因為可簡化寫法，而嚴格的寫法可能顯得過於執着細節。

類似的濫用尚有「考慮函數 <math>x^2 + x + 1</math>⋯⋯」，因為 <math>x^2 + x+1</math> 並非函數，真正的函數是將 <math>x</math> 對應到 <math>x^2+x+1</math> 的運算，用[[匿名函數]]的寫法可將該函數寫成 <math> x \mapsto x^2 + x + 1</math>。同樣，此種濫用亦廣泛出現，因為避免拘泥小節，同時一般不會造成混淆。

=== 數學結構 ===
許多[[數學物件]]是由一個[[集合 (数学)|集合]]（通常稱為基集，{{lang-en|underlying set}}）及其上的額外結構組成。此種結構可以是[[运算|數學運算]]、[[關係 (數學)|關係]]或[[拓撲空間|拓撲結構]]。經常濫用同一個符號，同時表示基集及整個數學結構（此現象稱為「壓參數」，{{lang-en|suppression of parameters}}<ref name=":2" />）。舉例，<math>\mathbb Z</math> 表示[[整數|整數集]]，但同時可以表示整數集與[[加法]]組成的[[群]]，還可以是整數集連同[[加法]]、[[乘法]]組成的[[環 (代數)|環]]。一般而言，此類用法中，若所指的物件為所熟知，則不會引起讀者混淆；若刻意避免濫用，反而可能略嫌冗餘，使數學論述更難理解。實在混淆時，可以寫出整個結構以作區分，即以 <math>(\mathbb Z, +)</math> 表示整數的加法群，<math>(\mathbb Z, +, \cdot)</math> 表示整數環。

同理，[[拓扑空间]]由基集 <math>X</math> 與拓撲結構 <math>\mathcal{T}</math> 兩部分構成，後者是 <math>X</math> 若干[[子集]]構成的族，該些子集稱為[[开集]]。通常，只考慮 <math>X</math> 上某一個拓撲，於是一經指定，就無需再次提及，可用同一個符號 <math>X</math> 同時表示基集及 <math>X</math> 與拓撲結構 <math>\mathcal{T}</math> 組成的二元組，而不引起混淆，即使嚴格而言，兩者為不同的數學物件。不過，有時要同時考慮同一個基集上的兩個拓撲（如[[拓撲向量空間]]上的{{le|強拓撲|strong topology}}和{{le|弱拓撲|weak topology}}，或[[實數線]]上的[[實數線|歐氏拓撲]]和[[下限拓撲]]），此時則須當心使用結構的全寫，如 <math>(X, \mathcal{T})</math> 和 <math>(X, \mathcal{T}')</math>，以作區分。

=== 等價類 ===
[[等价关系]]中，元素 <math>x</math> 所在[[等价类]]嚴格地可記為 <math>[x]</math>，但有時亦濫用符號記為 <math>x</math>。此處等價類的意思是，若集合 <math>X</math> [[集合划分|分劃]]成等價關係 <math>\sim</math> 的等價類，則對每個 <math>x \in X</math>，等價類 <math>\{y \in X : y \sim x\}</math> 記為 <math>[x]</math>。但實用上，若取[[商集]]後，餘下討論僅關心等價類，而非原集合的元素，則常會棄用方括號。

例如，[[模算數|模算術]]中，有等價關係 <math>\sim</math>，其定義中，<math>x \sim y </math> 當且僅當 <math>x \equiv y \pmod n</math>。將整數集按 <math>\sim</math> 劃分，可以得到等價類 <math>[0], [1], \ldots, [n-1]</math>，關於加法組成一個 <math>n</math> [[階 (群論)|階]][[循環群]]，但實用上，該群的元素常簡記為 <math>0, 1, \ldots, n-1</math>。

另一個例子是，某[[測度空間]]上，[[可測函數]]（類）組成的向量空間，或[[勒貝格積分|勒貝格可積]]函數（類）組成的向量空間。此處等價關係為「[[幾乎處處]]相等」。

===相等抑或同構===

許多數學構造是以某性質來刻劃其定義（經常是[[泛性質]]），如[[直積]]、[[張量積]]、[[自由積]]。選定所需性質後，可能有多種方法構造出具該性質的結構，各結構嚴格而言，固然是不同的物件，但因為性質完全一樣（「[[同构]]」），不能藉其性質區分各同構物件，即使實際不等亦常逕稱「相等」。<ref name=":1" />

以[[笛卡儿积]]為例，常以為[[可結合]]：
:<math>(E \times F) \times G = E \times (F \times G) = E \times F \times G,</math>
實則不然，因為若 <math>x \in E, y \in F, z \in G</math>，則[[有序對]]之間的等式 <math>((x, y), z) = (x, (y, z))</math> 會推出 <math>(x, y) = x</math> 和 <math>z = (y, z)</math>，而 <math>((x, y), z) = (x, y, z)</math> 甚至[[合式公式|不合式]]，是[[語法錯誤|句法錯誤]]。不過，在[[範疇論]]中，得以[[自然變換]]的概念，將上述「結合律」修正。

類似濫用亦常見於談論結構「個數」的句子。舉例「[[小群列表#小非可換群的列表|恰有兩個8階非交換群]]」嚴格而言可寫作「8階非交換群的{{le|同構類|Isomorphism class}}恰有兩個」或「[[Up to|不別同構之異]]，恰有兩種8階非交換群」。

== 微積分例子 ==

=== 導數 ===
[[數學分析]]中，[[導函數]]的[[导数#莱布尼兹的记法|萊布尼茲記法]]<math>\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}</math>，算是濫用了[[分數]]符號。此種寫法的好處是，形式上得以沿用分數的運算法則，方便計算，例如[[複合函數]]求導的[[連鎖律]]，按萊布尼茲記法為：
:<math>\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d u} \cdot \frac{\mathrm d u}{\mathrm d x} ,</math>
狀似分數乘法。

類似濫用出現於解[[微分方程]]的[[分離變數法]]，常將方程 <math>\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = \frac{g(x)}{h(y)}</math> 左邊的導數，如分數般「移項」寫成 <math>h(y) \mathrm d y = g(x) \mathrm d x</math>，然後兩邊積分。還有積分記號中，將 <math>\int \frac{1}{x} \mathrm d x</math> 的 <math>\mathrm d x</math> 看成因子，與 <math>\frac{1}{x}</math> 的分子相乘，寫成
:<math>\int {dx \over x} .</math>

但在[[微分形式]]理論中，有 <math>\mathrm d y</math> 和 <math>\mathrm d x</math> 的嚴格定義，此時，上述寫法不再是濫用。

=== 向量叉積 ===
設實向量 <math>\boldsymbol a = (a_1, a_2, a_3)</math>，<math>\boldsymbol b = (b_1, b_2, b_3)</math>，則兩者的[[叉積]]可用形式[[行列式]]定義為：
: <math>\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left| \begin{matrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{matrix}\right|,</math>
其中頂行的三項是三個方向的單位向量，沿該行用[[拉普拉斯展開|餘子式展開]]可得結果。此種濫用有助記憶，實際計算亦有用。<ref>{{cite book |title=Multivariable Calculus |last=Stewart |first=James |authorlink= 詹姆斯·史都華 (數學家) |year=2007 |edition=6th |publisher=Brooks/Cole |isbn= 0-495-01163-0 |pages=822–823|language = en}}</ref>其所以為濫用，是因為一般僅定義[[環 (代數)|環]]上某[[矩陣]]的行列式，但向量 <math>\mathbf i \in \mathbb R^3</math> 與純量 <math>a_1 \in \mathbb R</math> 等不在同一環內（除非考慮[[幾何代數]]）。

===倒三角算子===
[[Nabla算子|倒三角算子]] <math>\nabla</math> 是將[[偏微分]]算子組裝成類似向量的形式：
:<math>\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial z}\right),</math>
以便用向量運算表示[[梯度]] <math>\nabla f</math>、[[散度]] <math>\nabla \cdot \boldsymbol v</math>、[[旋度]] <math>\nabla \times \boldsymbol v</math>。但是，倒三角算子並未齊備向量的全部性質，例如與其他向量的[[內積]]不[[交換律|可換]]。此觀點下，是濫用向量符號。

=== 大O記號 ===
使用[[大O符號]]時，常以 <math>f(x) = O(g(x))</math> 表示「當 <math>x</math> {{le|充分大|sufficiently large}}時，<math>f(x)</math> 至多為 <math>g(x)</math> 的常數倍」。這可以看成濫用了等號，因為如{{le|尼古拉斯·霍弗特·德布魯因|Nicolaas Govert de Bruijn|德布魯因}}<!--譯名參考[[尼古拉斯·布隆伯根]]、[[秤量房 (萊頓)]]中的霍弗特·比德洛、[[德布魯因-紐曼常數]]-->所言，<math>O(x) = O(x^2)</math> 但 <math>O(x^2) \neq O(x)</math>。<ref name=deBruijn>{{Cite book | author=N. G. de Bruijn | title=Asymptotic Methods in Analysis | place=Amsterdam | publisher=North-Holland | year=1958 | pages=5–7 | url=https://books.google.com/books?id=_tnwmvHmVwMC&q=%22The+trouble+is%22&pg=PA5 | isbn=978-0-486-64221-5 | language=en | access-date=2021-11-06 | archive-date=2021-11-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20211106172308/https://books.google.com/books?id=_tnwmvHmVwMC&q=%22The+trouble+is%22&pg=PA5 | dead-url=no }}</ref>

== 主觀性 ==
一種用法是否屬濫用符號，視乎學科背景和上下文。大部分數學科目中，以 <math>f : A \to B</math> 表示{{link-en|偏函數|partial function}}，皆算為濫用，但[[範疇論]]中則不一定，因為 <math>f</math> 在集合和偏函數構成的[[範疇 (數學)|範疇]]中，確實是[[态射]]。

== 評價 ==
{{expand section}}
[[尼古拉·布爾巴基]]在《[[數學原本]]》起首的「本書用法」中，稱任何數學書若不濫用語文或符號，則易拘於小節（{{lang|fr|pédantesque}}）甚至不堪卒讀（{{lang|fr|illisible}}）。<ref>{{cite book|last = Bourbaki |first = Nicolas |author-link = 尼古拉·布爾巴基|title = Théorie des ensembles | series = [[數學原本|Éléments de mathématique]] | doi = 10.1007/978-3-540-34035-5 | quote = …, les ''abus de langage ou de notation'', sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, … |language = fr |pages = Mode d'emploi de ce traité}}有英譯本<br>
{{cite book|last = Bourbaki |first = Nicolas |author-link = 尼古拉·布爾巴基|series = [[數學原本|Elements of Mathematics]]|title = Theory of Sets|year = 1968 |url = https://archive.org/details/theoryofsets0000bour |doi = 10.1007/978-3-642-59309-3|language = en}}</ref>[[陶哲軒]]認為，論文的嚴格論證中，所用符號應當明確而不含糊，但即使如此，仍允許一定程度的濫用符號。<ref>{{cite web |last = Tao |first = Terence |author-link = 陶哲軒 |url = https://terrytao.wordpress.com/advice-on-writing-papers/use-good-notation/ |title = Use good notation |format = 網誌 |language = en |quote = A certain amount of abuse of notation is permitted, though, as long as this is properly pointed out. |access-date = 2021-11-05 |archive-date = 2021-11-07 |archive-url = https://web.archive.org/web/20211107201534/https://terrytao.wordpress.com/advice-on-writing-papers/use-good-notation/ |dead-url = no }}</ref>

==參見==
*{{鏈解|數學符號}}
*{{link-en|誤稱|Misnomer}}

== 註 ==
{{備註表}}

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:數學表示法]]
[[Category:数学术语]]