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'''潘勒韦分析'''原是[[保罗·潘勒韦]]在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论，后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中，并发展出几种程序，常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。潘勒韦分析的过程复杂，需借助[[Maple]]、[[Mathematica]]等计算机代数系统进行运算<ref>Inna Shingareva, Carlos Lizarrraga-Celyaya  Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, SpringerWienNewYork</ref>

==Kruskal 简化法原理==

对于给定的 偏微分方程

    <math> F(u_{x},u_{t},u_{xx},\cdot\cdot\cdot)=0; </math>

假设其解可展开为Laurent级数形式：

<math>u(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty}(u[j](t)*\phi^j, j = 0 .. N))/\phi^\rho </math>

设定方程解的首项目可以表示为

<math>u</math>≈<math>\psi^{-\rho}*u_0</math>

代人原式，平衡φ的幂次，得到一个含共振点的递推关系，如果对于任意的u(j)、φ，此递推关系是自相容的，则原来的方程是可积的。

==实例==
[[伯格斯方程]]的潘勒韦分析

<math>sys :=\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}+a u(x, t) \frac{\partial u(x, t)}{\partial x}+b \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial  x^2} = 0  </math>

作Laurent级数展开

<math>u(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty}(u[j](t)\phi^j, j = 0 .. N))/\phi^\rho </math>

其中<math>\phi=x-\psi(t)</math> 和 <math>u_{j}=u_{j}(t)</math> 是非特征奇异点流型<math>x-\psi(t)=0</math> 和 u[0]≠0附近的解析函数。

设定方程解的首项可以表示为

<math>u</math>≈<math>\psi^{-\rho} u_0</math>

代人原式，得到

<math>\rho\phi u[0]\psi[t]</math><math>-\phi^{-\rho+1} u[0]^2\rho a-\rho(-b-b\rho) u[0]+\phi^2 u[0, t]=0</math>

平衡最高阶微商与非线性项，得到：

ρ=1，u[0] = 2 b/a；

将
<math>u(x, t) = 2*b/(a*(x-\psi))+u[j]*(x-\psi)^(j-1)</math> 代人偏微分方程，

φ的最低次项为


<math>\phi^{j-3}*b*(j+1)*(j-2)=0</math>

代入伯格斯方程，

因此 j=-1,2

取 <math>u(x,t)= \sum_{k=0}^{2}\frac{ u[j](t) \phi^j)}{\phi}</math> 再带入原方程得：

<math>a*\phi^4*u[2]^2-(-u[1]*a+\psi[t])*\phi^3*u[2]+\phi^4*u[2, t]+\phi^3*u[1, t]+\phi^2*u[0, t]+(-u[1]*a+\psi[t])*u[0]*\phi-u[0]^2*a+2*b*u[0]</math>

整理后，令其φ 的2次、1次，及常数项为零 得到一组多项式方程组：

<math>u[0, t] = 0, -(u[1]*a-\psi[t])*u[0] = 0, -u[0]*(-2*b+a*u[0])</math>

伯格斯方程通过潘勒韦测试的条件是 在截短短展开式中，φ、u[2] 是任意函数。

经过一系列运算可知 u[2],φ为任意函数，伯格斯方程乃潘勒韦可积，其解有如下形式：

<math>u(x, t) =\frac{ 2*b}{a*(x-\psi)}+\frac{\psi[t]}{a}+(x-\psi)*u[2]</math>

==参考文献==
<references/>
{{非线性偏微分方程理论与解法}}
[[Category:非线性偏微分方程]]