潘勒韦分析

潘勒韦分析原是保罗·潘勒韦在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论，后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中，并发展出几种程序，常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。潘勒韦分析的过程复杂，需借助Maple、Mathematica等计算机代数系统进行运算

Kruskal 简化法原理

对于给定的 偏微分方程

   $F(u_x,u_t,u_{xx},\cdot \cdot \cdot )=0;$

假设其解可展开为Laurent级数形式：

$u(x,t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(u[j](t)*{\varphi }^j,j=0..N))/{\varphi }^{\rho }$

设定方程解的首项目可以表示为

$u$≈${\psi }^{-\rho }*u_0$

代人原式，平衡φ的幂次，得到一个含共振点的递推关系，如果对于任意的u(j)、φ，此递推关系是自相容的，则原来的方程是可积的。

实例

伯格斯方程的潘勒韦分析

$sys:=\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+au(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}+b\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}=0$

作Laurent级数展开

$u(x,t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(u[j](t){\varphi }^j,j=0..N))/{\varphi }^{\rho }$

其中$\varphi =x-\psi (t)$ 和 $u_j=u_j(t)$ 是非特征奇异点流型$x-\psi (t)=0$ 和 u[0]≠0附近的解析函数。

设定方程解的首项可以表示为

$u$≈${\psi }^{-\rho }{u}_0$

代人原式，得到

$\rho \varphi u[0]\psi [t]$$-{\varphi }^{-\rho +1}u[0{]}^2\rho a-\rho (-b-b\rho )u[0]+{\varphi }^{2}u[0,t]=0$

平衡最高阶微商与非线性项，得到：

ρ=1，u[0] = 2 b/a；

将 $u(x,t)=2*b/(a*(x-\psi ))+u[j]*(x-\psi {)}^{(}j-1)$ 代人偏微分方程，

φ的最低次项为

${\varphi }^{j-3}*b*(j+1)*(j-2)=0$

代入伯格斯方程，

因此 j=-1,2

取 $u(x,t)=\sum _{k=0}^2\frac{u[j](t){\varphi }^j)}{\varphi }$ 再带入原方程得：

$a*{\varphi }^4*u[2{]}^2-(-u[1]*a+\psi [t])*{\varphi }^3*u[2]+{\varphi }^4*u[2,t]+{\varphi }^3*u[1,t]+{\varphi }^2*u[0,t]+(-u[1]*a+\psi [t])*u[0]*\varphi -u[0{]}^2*a+2*b*u[0]$

整理后，令其φ 的2次、1次，及常数项为零 得到一组多项式方程组：

$u[0,t]=0,-(u[1]*a-\psi [t])*u[0]=0,-u[0]*(-2*b+a*u[0])$

伯格斯方程通过潘勒韦测试的条件是 在截短短展开式中，φ、u[2] 是任意函数。

经过一系列运算可知 u[2],φ为任意函数，伯格斯方程乃潘勒韦可积，其解有如下形式：

$u(x,t)=\frac{2*b}{a*(x-\psi )}+\frac{\psi [t]}{a}+(x-\psi )*u[2]$