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{{unreferenced|time=2012-07-19T04:14:15+00:00}}
'''汉克尔变换'''是指对任何给定函数 <math>f(r)</math> 以第一类[[贝塞尔函数]] <math>J_{\nu}(kr)</math> 作无穷级数展开，贝塞尔函数 <math>J_{\nu}(kr)</math> 的阶数不变，级数各项 <math>k</math> 作变化。各项 <math>J_{\nu}(kr)</math> 前系数 <math>F_{\nu}</math> 构成了变换函数。对于函数 <math>f(r)</math>, 其 <math>\nu</math> 阶贝塞尔函数的汉克尔变换（<math>k</math> 为自变量）为

:<math>F_{\nu}(k)=\int_{0}^{\infty}f(r)J_{\nu}(kr)rdr
</math>

其中，<math>J_{\nu}</math> 为阶数为 <math>\nu</math> 的第一类贝塞尔函数，<math>\nu\ge-1/2</math>。对应的，逆汉克尔变换 <math>F_{\nu}(k)</math> 定义为

:<math>
f(r)=\int_{0}^{\infty}F_{\nu}(k)J_{\nu}(kr)kdk
</math>

汉克尔变换是一种[[积分变换]]，最早由德国数学家[[赫尔曼·汉克尔]]提出，又被称为傅立叶-贝塞尔变换。

== 正交性 ==
贝塞尔函数构成 [[正交函数族]] 权重因子为 ''r'':

:<math>
\int_0^\infty J_\nu(kr)J_\nu(k'r)r~\operatorname{d}r = \frac{\delta (k-k')}{k}
</math>

其中 <math>k</math> 与 <math>k'</math> 大于零。

== 与其他函数变换的关系 ==

=== 傅立叶变换 ===

零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数 <math>F(\boldsymbol{r})</math> ，径向矢量为 <math>\boldsymbol{r}</math>，其傅立叶变换为

:<math>
F(\boldsymbol{k})=\iint f(\boldsymbol{r})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}d\boldsymbol{r}
</math>

不失一般性，选择极坐标 <math>(r,\theta)</math> ，使得矢量 <math>\boldsymbol{k}</math> 方向指向 <math>\theta=0</math> 。极坐标下的傅立叶变换写作

:<math>
F(\boldsymbol{k})=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}f(r,\theta)e^{ikr\cos\theta}rdrd\theta
</math>

其中 <math>\theta</math> 为矢量 <math>\boldsymbol{k}</math> 与 <math>\boldsymbol{r}</math> 间夹角。如果函数 <math>f</math> 恰为圆对称不依赖角变量 <math>\theta</math> ，<math>f\equiv f(r)</math> ，对角度 <math>\theta</math> 的积分可以提出，傅立叶变换写作 
:<math>F(\boldsymbol{k})=F(k)=2\pi\int_{0}^{\infty}f(r)J_{0}(kr)rdr
</math> 
此式恰为 <math>f(r)</math> 的零阶汉克尔变换的 <math>2\pi</math> 倍。

== 常见汉克尔变换函数对 ==
{|border="1" class="wikitable" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
!<math>f(r)\,</math>
!<math>F_0(k)\,</math>
|-
|<math>1\,</math>
|<math>\delta(k)/k\,</math>
|-
|<math>1/r\,</math>
|<math>1/k\,</math>
|-
|<math>r\,</math>
|<math>-1/k^3\,</math>
|-
|<math>r^3\,</math>
|<math>9/k^5\,</math>
|-
|<math>r^{m}\,</math>
|<math>\frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\,</math> for -2<Re(m)<-1/2

|-
|<math>\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\,</math>
|<math>\frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}K_{-1/2}(k|z|)\,</math><!--- ref Smythe 1968 --->
|-
|<math>\frac{1}{r^2+z^2}\,</math>
|<math>K_0(kz)\,</math>, <math>z</math>可为复数 
|-
|<math>e^{iar}/r\,</math>
|<math> i/\sqrt{ a^2 - k^2} \quad (a>0, k<a) \,</math>
|-
|<math> \,</math>
|<math> 1/\sqrt{ k^2 - a^2} \quad (a>0, k>a) \,</math>
|-
|<math>e^{-a^2r^2/2}\,</math>
|<math>\frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}</math>
|-
|<math>-r^2 f(r)\,</math>
|<math>\frac{\operatorname{d}^2 F_0}{\operatorname{d}k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}F_0}{\operatorname{d}k}</math>
|-
!<math>f(r)\,</math>
!<math>F_{\nu}(k)\,</math>
|-
|<math>r^s\,</math>
|<math>\frac{\Gamma\left(\frac 1 2 (2+\nu+s)\right)}{\Gamma(\tfrac 1 2 (\nu-s))} \frac{2^{s+1}}{k^{s+2}} \,</math>
|-
|<math>r^{\nu-2s}\Gamma\left(s,r^2 h\right)\,</math>
|<math>\frac12 \left(\frac k 2\right)^{2s-\nu-2}\gamma\left(1-s+\nu,\frac{k^2}{4h}\right)\,</math>
|-
|<math>e^{-r^2}r^\nu U\left(a,b,r^2\right)\,</math>
|<math>\frac{\Gamma(2+\nu-b)}{2\Gamma(2+\nu-b+a)}\left(\frac k 2\right)^\nu e^{-\frac{k^2}4}\,_1F_1\left(a,2+a-b+\nu,\frac{k^2}4\right)</math>
|-
|<math>-r^2 f(r)\,</math>
|<math>\frac{\operatorname{d}^2 F_\nu}{\operatorname{d}k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}F_\nu}{\operatorname{d}k}-\frac{\nu^2}{k^2}F_\nu</math>
|}

==参见条目==
* [[傅里叶变换]]

[[Category:积分变换]]