查看“︁渐近线”︁的源代码

在[[解析几何]]和[[微分学]]中，曲线的'''渐近线'''（{{lang-en|asymptote}}{{notetag|渐近线这个词源于希腊语ἀσύμπτωτος（asumptōtos），意为“不在一起。 +σύν“在一起” +πτωτ-ός“堕落”。该术语是Perga的Apollonius在其圆锥截面的工作中引入的，但与它的现代含义相反，他用它来表示不与给定曲线相交的任何直线。}}）是一条使得当<math>x</math>或<math>y</math>坐标之一或两者趋于无穷大时，[[曲线]]与该线之间的距离接近零的线。在[[射影几何]]和相关上下文中，曲线的渐近线是在[[无穷大]]点处与曲线相切的线。

渐近线分为三种类型：[[水平与垂直|水平、垂直]]和倾斜。对于由函数<math>y=f(x)</math>的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着<math>x</math>趋于<math>+ \infty</math>或<math>- \infty</math>趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当<math>x</math>趋于<math>+ \infty</math>或<math>- \infty</math>时，函数的图接近该斜率。

更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意[[曲线]]上一点<math>M</math>沿曲线无限远离[[原点]]时，如果<math>M</math>到一条[[直线]]（或另外一条[[曲线]]）的[[距离]][[无限]][[极限 (数学)|趋近]]于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的'''渐近线'''。數學上的定義則是：若函數<math>y=f \left(x \right)</math>的圖形[[收斂]]，則漸近線為<math>y=\lim_{x \to \infty} f \left(x \right)</math>。

==例解==
例如，直线<math>y=\frac{b}{a}x</math>是[[双曲线]]<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>的渐近线，因为双曲线上的点<math>M</math>到直线<math>y=\frac{b}{a}x</math>的距离<math>MQ<MN</math>；当<math>MN</math>无限趋近于0时，<math>MQ</math>也无限趋近于0。所以按照定义，直线<math>y=\frac{b}{a}x</math>是该双曲线的渐近线。同理，直线<math>y=-\frac{b}{a}x</math>也是该双曲线的渐近线。

对于<math>F\left(x,y \right)=0</math>来说，如果当<math>x \rightarrow a</math>时，有<math>y \rightarrow \pm\infty</math>（左右極限不一定相等），就把<math>x=a</math>叫做<math>F \left(x,y \right)=0</math>的垂直渐近线；如果当<math>x \rightarrow \infty</math>时，有<math>y \rightarrow b</math>，就把<math>y=b</math>叫做<math>F \left(x,y \right)=0</math>的水平渐近线。例如，<math>y=3</math>是曲线<math>xy=3x+2</math>的水平渐近线。

==求法==
===依据===
求渐近线，可以依据以下结论：

若[[极限 (数学)|极限]]<math>\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a</math>存在，且极限<math>\lim_{x \to \infty} \left[f \left (x \right) -ax \right]=b</math>也存在，那么曲线<math>y=f \left(x \right)</math>具有渐近线<math>y=ax+b</math>。
===例子===
例：求<math>y=\frac{x^2}{1+x}</math>的渐近线。

解：(1)<math>x=-1</math>为其垂直渐近线。

(2)<math>\lim_{x \to \infty} \frac{f \left(x \right)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x}</math>，即<math>a=1</math>；

<math>\lim_{x \to \infty} \left[f \left(x \right) -ax \right]=\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x}=-1</math>，即<math>b=-1</math>；

所以<math>y=x-1</math>也是其渐近线。

== 注释 ==
{{NoteFoot}}

{{Authority control}}

[[Category:数学分析]]
[[Category:解析几何]]

{{mathstub}}