查看“︁混合規則”︁的源代码

[[File:Composite_elastic_modulus.svg|thumb|400x400px|複合材料彈性模數的上限和下限，下限為此處給出的混合規則所預測，但上限大於此處給出的混合規則。 <ref name="Micromechanics">{{Cite book|last=Yu|first=Wenbin|title=An Introduction to Micromechanics|date=2016|publisher=Trans Tech Publications|location=Switzerland|isbn=9783038357469|pages=3–24|url=https://www.scientific.net/book/composite-materials-and-structures-in-aerospace-engineering/978-3-0357-0237-8}}</ref>實際彈性模數介於曲線之間。]]
在[[材料科学|材料科學]]中，'''混合規則'''是用來預測[[复合材料|複合材料]]的各種性能的[[加權平均數|平均值]]。 <ref name="PSD">{{Cite book|last=Alger|first=Mark. S. M.|title=Polymer Science Dictionary|url=https://archive.org/details/polymersciencedi0002alge|edition=2nd|year=1997|publisher=[[Springer Publishing]]|isbn=0412608707}}</ref> <ref name="UoC">{{Cite web|title=Stiffness of long fibre composites|url=http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/fibre_composites/stiffness.php|access-date=1 January 2013|publisher=[[University of Cambridge]]|archive-date=2024-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20240305001427/https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/fibre_composites/stiffness.php|dead-url=no}}</ref> <ref name="SEM">{{Cite book|last=Askeland|first=Donald R.|last2=Fulay|first2=Pradeep P.|last3=Wright|first3=Wendelin J.|title=The Science and Engineering of Materials|edition=6th|date=2010-06-21|publisher=[[Cengage Learning]]|isbn=9780495296027}}</ref>它提供了[[弹性模量|彈性模數]]、[[强度|極限拉伸強度]]、[[熱導率]]和導電度等特性的理論上下限。 <ref name="SEM" />通常會使用兩種模型，一種用於軸向負載（Voigt 模型） <ref name="UoC" /> <ref name="Voigt">{{Cite journal |last=Voigt |first=W. |year=1889 |title=Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticitätsconstanten isotroper Körper |url=https://zenodo.org/record/1423864 |journal=Annalen der Physik |volume=274 |issue=12 |page=573–587 |bibcode=1889AnP...274..573V |doi=10.1002/andp.18892741206}}</ref> ，一種用於横向負載（Reuss 模型）。 <ref name="UoC" /> <ref name="Reuss">{{Cite journal |last=Reuss |first=A. |year=1929 |title=Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitätsbedingung für Einkristalle |journal=Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik |volume=9 |issue=1 |page=49–58 |bibcode=1929ZaMM....9...49R |doi=10.1002/zamm.19290090104}}</ref>

一般來說，對於某些物理性質，如彈性模數 <math>E</math> <ref name="PSD"/> ，混合規則指出，平行於纖維方向上的整體性能可達：

: <math> E_c = fE_f + \left(1-f\right)E_m </math>

其中

* <math>f = \frac{V_f}{V_f + V_m}</math>是纖維占整體的[[体积分数|體積比例]]
* <math>E_f</math> 是纖維的材料性質
* <math>E_m</math> 是基材的材料性質

常犯的錯誤是以為這是楊氏模數的'''上限'''。實際上這個公式给出楊氏模數上限大於 <math>E_c</math>。即使兩個都是等向性(Isotropic)材料，真正的上限是 <math>E_c</math> 加上兩個成分[[泊松比]]之差的平方。 <ref name="Micromechanics">{{Cite book|last=Yu|first=Wenbin|title=An Introduction to Micromechanics|date=2016|publisher=Trans Tech Publications|location=Switzerland|isbn=9783038357469|pages=3–24|url=https://www.scientific.net/book/composite-materials-and-structures-in-aerospace-engineering/978-3-0357-0237-8|access-date=2024-05-22|archive-date=2024-02-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20240227014629/https://www.scientific.net/book/composite-materials-and-structures-in-aerospace-engineering/978-3-0357-0237-8|dead-url=no}}</ref>

'''混合逆規則'''表明，在垂直於纖維的方向上，複合材料的彈性模數可以低至

: <math>E_c = \left(\frac{f}{E_f} + \frac{1-f}{E_m}\right)^{-1}.</math>

如果所要研究的是彈性模數，則這就稱為'''下限模數'''，對應横向負載。 <ref name="UoC"/>

== [[弹性模量|彈性模量]]的推導 ==

=== Voigt模數 ===
考慮[[張力|單軸拉伸]]下的複合材料<math>\sigma_\infty</math> 。如果材料要保持完整， <math>\epsilon_f</math> (纖維的應變) 必須等於 <math>\epsilon_m</math>(基材的應變) 。單軸張力的[[胡克定律|虎克定律]]给出{{NumBlk|:|<math>\frac{\sigma_f}{E_f} = \epsilon_f = \epsilon_m = \frac{\sigma_m}{E_m}</math>|{{EquationRef|1}}}}在這裡<math>\sigma_f</math>, <math>E_f</math>, <math>\sigma_m</math>, <math>E_m</math>分别是纖維和基材的應力和彈性模數。注意到應力的定義是'''每單位面積的力[N/m^2]'''，力平衡给出：{{NumBlk|:|<math>\sigma_\infty = f\sigma_f + \left(1-f\right)\sigma_m</math>|{{EquationRef|2}}}}這裡<math>f</math>是複合材料中纖維的體積比例（並且<math>1-f</math>是基材的體積比例）。

如果假設複合材料表現為'''線彈性材料'''，即遵守虎克定律<math>\sigma_\infty = E_c\epsilon_c</math>對於複合材料的某些彈性模數<math>E_c</math>以及複合材料的一些應變<math>\epsilon_c</math> ，那麼等式 (1) 和 (2) 可以結合起来给出

: <math>E_c\epsilon_c = fE_f\epsilon_f + \left(1-f\right)E_m\epsilon_m.</math>

最後，自从<math>\epsilon_c = \epsilon_f = \epsilon_m</math> ，複合材料的整體彈性模數可表示為<ref name="UoCderiv">{{Cite web|title=Derivation of the rule of mixtures and inverse rule of mixtures|url=http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/bones/derivation_mixture_rules.php|access-date=1 January 2013|publisher=[[University of Cambridge]]|archive-date=2023-10-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20231018163242/https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/bones/derivation_mixture_rules.php|dead-url=no}}</ref>

: <math> E_c = fE_f + \left(1-f\right)E_m.</math>

=== Reuss 模數 ===
現在在複合材料垂直於纖維方向施加負載，假設<math>\sigma_\infty = \sigma_f = \sigma_m</math> 。複合材料中的總應變分布在材料之間，使得：

: <math>\epsilon_c = f\epsilon_f + \left(1-f\right)\epsilon_m.</math>

材料的總模數如下式所示：

: <math>E_c = \frac{\sigma_\infty}{\epsilon_c} = \frac{\sigma_f}{f\epsilon_f + \left(1-f\right)\epsilon_m} = \left(\frac{f}{E_f} + \frac{1-f}{E_m}\right)^{-1}</math>

因為<math>\sigma_f=E\epsilon_f</math>, <math>\sigma_m=E\epsilon_m</math> 。 <ref name="UoCderiv"/>

== 其他特性 ==
類似的推導给出了混合規則

* [[密度|質量密度]]： \rho_c=\rho_f\centerdot f+\rho_M\centerdot (1-f)<math display="block">\rho_c=\rho_f\centerdot f+\rho_M\centerdot (1-f) </math>
* [[强度|極限拉伸強度]]： <math display="block">\left(\frac{f}{\sigma_{UTS,f}} + \frac{1-f}{\sigma_{UTS,m}}\right)^{-1} \leq \sigma_{UTS,c} \leq f\sigma_{UTS,f} + \left(1-f\right)\sigma_{UTS,m} </math>
* [[熱導率]]： <math display="block">\left(\frac{f}{k_f} + \frac{1-f}{k_m}\right)^{-1} \leq k_c \leq fk_f + \left(1-f\right)k_m </math>
* 導電度： <math display="block">\left(\frac{f}{\sigma_f} + \frac{1-f}{\sigma_m}\right)^{-1} \leq \sigma_c \leq f\sigma_f + \left(1-f\right)\sigma_m </math>

== 參見 ==
當考慮化合物的某些物理性質和化學成分的經驗相關性時，其他關係、規則或定律也非常類似於混合規則：

* 阿马加特定律– 氣體部分體積定律
* [[格拉德斯通-戴尔关系|Gladstone–Dale 方程]]– 液體、玻璃和晶體的光學分析
* [[柯普定律 (热力学)|柯普定律]]– 使用[[质量分数|質量百分比]]
* [[柯普定律 (热力学)|柯普-诺依曼定律]]– 合金的比熱容
* 維加德定律– 晶格參數

== 參考資料 ==
<references responsive="1"></references>

== 外部連結 ==

* [http://www.fxsolver.com/solve/share/nn7-FXn1ZV5hI-IDLBT1zw==/ 混合規則計算機]
[[Category:热力学定律]]
[[Category:材料科學]]